《復(fù)數(shù)的三角表示》復(fù)數(shù)PPT課件(復(fù)數(shù)的三角表示式)
第一部分內(nèi)容：內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)
1.通過復(fù)數(shù)的幾何意義，了解復(fù)數(shù)的三角表示．
2.了解復(fù)數(shù)的輻角及輻角的主值的含義．
3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系.
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復(fù)數(shù)的三角表示PPT，第二部分內(nèi)容：課前 • 自主探究
[教材提煉]
知識(shí)點(diǎn) 復(fù)數(shù)的三角表示式
預(yù)習(xí)教材，思考問題
(1)如圖，角θ的終邊上一點(diǎn)P(x，y)，設(shè)P到原點(diǎn)O的距離|OP|＝r，那么怎樣用角θ和r表示x，y?
(2)我們知道，復(fù)數(shù)可以用a＋bi(a，b∈R)的形式來表示，復(fù)數(shù)a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)一一對(duì)應(yīng)，與平面向量OZ→＝(a，b)也是一一對(duì)應(yīng)的，如圖，你能用向量OZ→的模r和以x軸的非負(fù)半軸為始邊，以向量OZ→所在射線(射線OZ)為終邊的角θ來表示復(fù)數(shù)z嗎？
知識(shí)梳理 (1)復(fù)數(shù)的輻角：以x軸的非負(fù)半軸為始邊，____________為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角．我們規(guī)定在______范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作arg z ，即______ .
(2)復(fù)數(shù)的三角形式：一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以表示成______的形式．其中，r是復(fù)數(shù)的______；θ是復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角．______ 叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角表示式，簡(jiǎn)稱三角形式．為了與三角形式區(qū)分開來，______ 叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡(jiǎn)稱代數(shù)形式．
(3)兩個(gè)用三角形式表示的復(fù)數(shù)相等的充要條件：兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的______與______分別相等．
[自主檢測(cè)]
1．復(fù)數(shù)1＋3i化成三角形式，正確的是( )
A．2(cos 2π3＋isin 2π3)
B．2(cos π3＋isin π3)
C．2(cos 5π3＋isin 5π3)
D．2(cos 11π6＋isin 11π6)
2．復(fù)數(shù)z＝－sin 100°＋icos 100°的輻角主值是( )
A．80° B．100°
C．190° D．260°
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復(fù)數(shù)的三角表示PPT，第三部分內(nèi)容：課堂 • 互動(dòng)探究
探究一 復(fù)數(shù)的三角形式
[例1] 下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？若不是，把它們表示成三角形式．
(1) z1＝ cos 60°＋isin 30° ；
(2) z2＝2(cos π5－isin π5)；
(3) z3＝－sin θ＋icos θ .
(2)由“加號(hào)連”知，不是三角形式．復(fù)平面上的點(diǎn)Z2(2cos π5，－2sin π5)在第四象限，不需要改變?nèi)呛瘮?shù)名稱，可用誘導(dǎo)公式“2π－π5”或“－π5”變換到第四象限．
所以z2＝2(cos π5－isin π5)＝2[cos(－π5)＋isin (－π5)]或z2＝2(cos π5－isin π5)＝2[(cos(2π－π5)＋isin (2π－π5)]＝2(cos 9π5＋isin9π5)，考慮到復(fù)數(shù)輻角的不唯一性，復(fù)數(shù)的三角形式也不唯一．
(3)由“余弦前”知，不是三角形式．復(fù)平面上的點(diǎn)Z3(－sin θ，cos θ)在第二象限(假定θ為銳角)，需要改變?nèi)呛瘮?shù)名稱，可用誘導(dǎo)公式“π2＋θ”將θ變換到第二象限．
所以z3＝ －sin θ＋icos θ＝cos (π2＋θ)＋isin (π2＋θ) .
方法提升
復(fù)數(shù)三角形式的判斷依據(jù)和變形步驟
(1)判斷依據(jù)：三角形式的結(jié)構(gòu)特征：模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連．
(2)變形步驟：首先確定復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限(此處可假定θ為銳角)，其次判斷是否要變換三角函數(shù)名稱，最后確定輻角．此步驟可簡(jiǎn)稱為“定點(diǎn)→定名→定角”.
探究二 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示成三角形式
[例2] 畫出下列復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，指出它們的模和輻角的主值，并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式：
(1)3i；(2)－10；(3)2－2i ；(4) －1＋3i.
(2)復(fù)數(shù)－10對(duì)應(yīng)的向量如圖所示，
則模r＝10，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，所以arg(－10)＝π.所以－10＝10(cos π＋isin π)．
方法提升
復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步驟
(1)先求復(fù)數(shù)的模；
(2)決定輻角所在的象限；
(3)根據(jù)象限求出輻角(常取它的主值)；
(4)寫出復(fù)數(shù)的三角形式．
探究三 把復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式
[例3] 分別指出下列復(fù)數(shù)的模和一個(gè)輻角，并把這些復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：
(1)10(cos π3＋isinπ3)；
(2)14(cos 5π6＋isin5π6)；
(3)2(cos 45°－isin 45°)．
方法提升
1．類似三角形式的復(fù)數(shù)求模和輻角時(shí)，注意三角形式的結(jié)構(gòu)特征：模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連．
2．由三角形式表示成代數(shù)形式，直接求出角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)即可．
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復(fù)數(shù)的三角表示PPT，第四部分內(nèi)容：課后 • 素養(yǎng)培優(yōu)
復(fù)數(shù)的三角形式
邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算
在求復(fù)數(shù)的三角形式時(shí)，需要進(jìn)行復(fù)雜的三角恒等變換，在變換時(shí)一定要根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征：模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連，確定判斷的依據(jù)和變形的方向．只要角的范圍在[0,2π]即可．
[素養(yǎng)提升] 1.在表示復(fù)數(shù)的三角形式時(shí)，要嚴(yán)格套用復(fù)數(shù)三角形式的四個(gè)結(jié)構(gòu)特征：模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連．
2．注意復(fù)數(shù)輻角的主值范圍[0,2π).
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