《章末整合》一元二次函數(shù)、方程和不等式PPT
第一部分內(nèi)容：深化提升
專題一 用基本不等式求最值
例1已知函數(shù)y=x+m/(x"-" 1)(m>0).
(1)若m=1,求當(dāng)x>1時(shí)函數(shù)的最小值;
(2)當(dāng)x<1時(shí),函數(shù)有最大值-3,求實(shí)數(shù)m的值.
分析:(1)由函數(shù)的形式可以看出,求最小值可用基本不等式求解;(2)當(dāng)x<1時(shí),x-1<0,仍可用基本不等式求最值,利用等號(hào)成立的條件求參數(shù)m的值.
解:(1)當(dāng)m=1時(shí),y=x+1/(x"-" 1)=x-1+1/(x"-" 1)+1.
∵x>1,∴x-1>0.
∴y=x-1+1/(x"-" 1)+1≥2√("(" x"-" 1")•" 1/(x"-" 1))+1=3,
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=1/(x"-" 1),即x=2時(shí)取等號(hào),
所以當(dāng)x>1時(shí)函數(shù)的最小值為3.
(2)∵x<1,∴x-1<0,∴y=x-1+m/(x"-" 1)+1=- 1-x+m/(1"-" x) +1≤-2√("(" 1"-" x")•" m/(1"-" x))+1=-2√m+1,
當(dāng)且僅當(dāng)1-x=m/(1"-" x),即x=1-√m時(shí)取等號(hào),即函數(shù)的最大值為-2√m+1,
所以-2√m+1=-3,解得m=4.
方法技巧 應(yīng)用基本不等式求最值的技巧
1.應(yīng)用基本不等式求最值,必須按照“一正、二定、三相等”的條件進(jìn)行,若具備這些條件,可直接運(yùn)用基本不等式,若不具備這些條件,則應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?
2.利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件.解題時(shí)應(yīng)對(duì)照已知條件和欲求的式子,運(yùn)用適當(dāng)?shù)?ldquo;拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)設(shè)使用基本不等式的條件,具體可以歸納為:一不正,用其相反數(shù),改變不等號(hào)方向;二不定,應(yīng)湊出定和或定積;三不等,一般需用其他方法,如嘗試?yán)煤瘮?shù)的單調(diào)性.(將在下章中學(xué)習(xí))
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