《正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象》三角函數(shù)PPT
第一部分內(nèi)容：課標(biāo)闡釋
1.能根據(jù)正弦函數(shù)的定義,利用單位圓正弦線作正弦函數(shù)的圖象.
2.掌握用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象.
3.能從簡(jiǎn)單的圖象變換的角度理解正弦函數(shù)圖象與余弦函數(shù)圖象的內(nèi)在聯(lián)系.
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正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象PPT，第二部分內(nèi)容：自主預(yù)習(xí)
一、正弦函數(shù)的圖象
1.(1)如圖單位圓所示,角α的終邊與單位圓交點(diǎn)B(x0,y0),你能用點(diǎn)A坐標(biāo)表示sin α和cos α嗎?
提示:由三角函數(shù)的定義可知sin α=y0,cos α=x0.
(2)在(1)中,過點(diǎn)B作BM⊥x軸,垂足為M,如果規(guī)定BM方向與y軸正向同向?yàn)檎?與y軸負(fù)向同向?yàn)樨?fù),這樣就可以用BM的大小(含正負(fù))來表示正弦值.
請(qǐng)問角α在 0,π/2 內(nèi)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)sin α的大小變化規(guī)律如何?角α在 π/2,π 時(shí)呢?
提示:當(dāng)sin α在α∈ 0,π/2 時(shí),隨α的增大,sin α值越大,為增函數(shù);
當(dāng)sin α在α∈ π/2,π 時(shí),隨α的增大,sin α的值越小,為減函數(shù).
其中BM能代表sin α的值,BM又叫做正弦線.
(3)對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)x,其正弦值、余弦值是否唯一?能否將sin x,cos x看作是關(guān)于變量x的函數(shù)?
提示:唯一,能.
(4)正、余弦函數(shù)的解析式及其定義域
(5)作函數(shù)圖象最基本的方法是什么?如果用描點(diǎn)法作正弦函數(shù)y=sin x在[0,2π]內(nèi)的圖象,可取哪些點(diǎn)?
提示:作函數(shù)圖象最基本的方法是描點(diǎn)法;用描點(diǎn)法作正弦函數(shù)y=sin x在[0,2π]內(nèi)的圖象,可取當(dāng)x=0,π/6,π/4,π/3,π/2,… 時(shí)的各點(diǎn).
2.填空
利用正弦線作正弦函數(shù)的圖象
利用正弦線作正弦函數(shù)圖象的步驟:(1)等分;(2)作正弦線;(3)平移得點(diǎn);(4)連線.
3.如何得到x∈[2π,4π],[-2π,0],…時(shí)y=sin x的圖象?
提示:根據(jù)誘導(dǎo)公式一,可將函數(shù)y=sin x在[0,2π]內(nèi)的圖象通過向左、向右平移得到.
4.填空
正弦函數(shù)y=sin x,x∈R的圖象叫正弦曲線.
5.在函數(shù)y=sin x,x∈[0,2π]的圖象上,起關(guān)鍵作用的點(diǎn)有哪幾個(gè)?
提示:一個(gè)最高點(diǎn)、一個(gè)最低點(diǎn)、三個(gè)圖象與x軸的交點(diǎn).
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正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象PPT，第三部分內(nèi)容：探究學(xué)習(xí)
用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的圖象
例1用“五點(diǎn)法”作出下列函數(shù)的圖象:
(1)y=sin x-1,x∈[0,2π];
(2)y=1-1/3cos x,x∈[-2π,2π].
分析:(1)先在[0,2π]上找出5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),再用光滑曲線連接;(2)先用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)在[0,2π]上的圖象,再通過對(duì)稱或平移得到[-2π,0]上的圖象.
解:(1)列表:
描點(diǎn)、連線,如圖.
(2)列表:
描點(diǎn)、連線,得到函數(shù)y=1-1/3cos x在[0,2π]上的圖象,再將該圖象向左平移2π個(gè)單位即可得到函數(shù)在[-2π,2π]上的圖象,如圖.
反思感悟 用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)y=Asin x+b(A≠0)(或y=Acos x+b(A≠0))在[0,2π]上的簡(jiǎn)圖的步驟:
(1)列表:
(2)描點(diǎn):在平面直角坐標(biāo)系中描出下列五個(gè)點(diǎn):
(0,y1),(π/2 "," y_2 ),(π,y3),(3π/2 "," y_4 ),(2π,y5).
(3)連線:用光滑的曲線將描出的五個(gè)點(diǎn)連接起來.
反思感悟 圖象變換的規(guī)律
1.平移變換
(1)函數(shù)y=f(x+a)的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個(gè)單位得到的;
(2)函數(shù)y=f(x)+b的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個(gè)單位得到的.
2.對(duì)稱變換
(1)函數(shù)y=|f(x)|的圖象是將函數(shù)y=f(x)的圖象在x軸上方的部分不動(dòng),下方的部分對(duì)稱翻折到x軸上方得到;
(2)函數(shù)y=f(|x|)的圖象是將函數(shù)y=f(x)的圖象在y軸右邊的部分不動(dòng),并將其對(duì)稱翻折到y(tǒng)軸左側(cè)得到;
(3)函數(shù)y=-f(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱;
(4)函數(shù)y=f(-x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;
(5)函數(shù)y=-f(-x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
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正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象PPT，第四部分內(nèi)容：思想方法
利用數(shù)形結(jié)合思想解決解的個(gè)數(shù)問題
典例 方程lg x=sin x的解的個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
審題視角該方程無法用求根公式求解,且只要求得到方程根的個(gè)數(shù),而函數(shù)y=sin x和y=lg x是基本初等函數(shù),其圖象容易畫出,因此可采用數(shù)形結(jié)合的方法:在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,觀察它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù),即得方程根的個(gè)數(shù).
解析:在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=lg x與y=sin x的圖象,如圖所示,當(dāng)x=5π/2時(shí),y=lg5π/2<1,y=sin5π/2=1;當(dāng)x=9π/2時(shí),y=lg9π/2>1,y=lg x與y=sin x無交點(diǎn).如圖所示,由圖知有三個(gè)交點(diǎn),故方程有三個(gè)解.
答案:D
方法點(diǎn)睛數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想,在研究方程的根以及根的個(gè)數(shù)問題時(shí),若方程中涉及的函數(shù)是基本初等函數(shù),其圖象容易作出,這時(shí)可以將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn),通過數(shù)形結(jié)合解決問題,使抽象的代數(shù)問題獲得直觀形象地解決.
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正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象PPT，第五部分內(nèi)容：隨堂演練
1.用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=2-3sin x的圖象,下列點(diǎn)中不屬于五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)之一的是( )
A.(0,2) B.(π/2 "," 1) C.(π,2) D.(3π/2 "," 5)
解析:當(dāng)x=π/2時(shí),y=2-3sin x=-1,故(π/2 "," 1)不是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).
答案:B
2.函數(shù)y=cos(x+3π)的圖象與余弦函數(shù)圖象( )
A.關(guān)于x軸對(duì)稱
B.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C.關(guān)于原點(diǎn)和x軸對(duì)稱
D.關(guān)于原點(diǎn)和坐標(biāo)軸對(duì)稱
解析:因?yàn)閥=cos(x+3π)=-cos x,所以其圖象與余弦函數(shù)y=cos x的圖象關(guān)于原點(diǎn)和x軸都對(duì)稱.
答案:C
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