《平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》平面向量及其應(yīng)用PPT下載(平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示)
第一部分內(nèi)容：內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)
1.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積．
2.會(huì)用坐標(biāo)表示兩個(gè)平面向量的夾角．
3.能用坐標(biāo)表示平面向量垂直的條件.
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平面向量基本定理及坐標(biāo)表示PPT，第二部分內(nèi)容：課前 • 自主探究
[教材提煉]
知識(shí)點(diǎn)一 平面向量的數(shù)量積與向量垂直的坐標(biāo)表示
預(yù)習(xí)教材，思考問(wèn)題
已知兩個(gè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)若i，j是兩個(gè)互相垂直且分別與x軸、y軸的正半軸同向的向量，則a，b如何用i、j表示？
(2)能否用a、b的坐標(biāo)表示a•b？怎樣表示？
(3)向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是什么？能用坐標(biāo)表示向量垂直嗎？
知識(shí)點(diǎn)二 平面向量的模與夾角的坐標(biāo)表示
預(yù)習(xí)教材，思考問(wèn)題
已知兩個(gè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
|a|，|b|分別用坐標(biāo)怎樣表示？a、b的夾角能否用坐標(biāo)表示？
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平面向量基本定理及坐標(biāo)表示PPT，第三部分內(nèi)容：課堂 • 互動(dòng)探究
探究一 數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算
[例1] 已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)．
(1)求a•(a－b)；
(2)求(a＋b)•(2a－b)；
(3)若c＝(2,1)，求(a•b)c，a(b•c)．
[分析] 根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算法則，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算．
[解析] (1)法一：∵a＝(－1,2)，b＝(3,2)，
∴a－b＝(－4,0)．
∴a•(a－b)＝(－1,2)•(－4,0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
法二：a•(a－b)＝a2－a•b
＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
(2)∵a＋b＝(－1,2)＋(3,2)＝(2,4)，
2a－b＝2(－1,2)－(3,2)＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)，
∴(a＋b)•(2a－b)＝(2,4)•(－5,2)＝2×(－5)＋4×2＝－2.
方法提升
數(shù)量積運(yùn)算的途徑及注意點(diǎn)
(1)進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)．解題時(shí)通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開(kāi)，再依據(jù)已知計(jì)算．
(2)對(duì)于以圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目，只需把握?qǐng)D形的特征，建立平面直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解．
探究二 向量平行與垂直的坐標(biāo)形式的應(yīng)用
[例3] 已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
方法提升
1．已知向量垂直求參數(shù)問(wèn)題，即由相應(yīng)向量的數(shù)量積為0建立關(guān)于參數(shù)的方程，求解即可．
2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
若a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
若a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.
兩個(gè)命題不能混淆，可以對(duì)比學(xué)習(xí)，分別簡(jiǎn)記為：縱橫交錯(cuò)積相等，橫橫縱縱積相反．
探究三 求向量的夾角
[例4] (1)已知a＝(1，3)，b＝(3＋1，3－1)，求a與b的夾角；
(2)已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,5)，求證△ABC是銳角三角形．
[分析] (1)分別求出a•b，|a|，|b|，代入夾角公式求解；
(2)△ABC是銳角三角形，即三個(gè)內(nèi)角都是銳角，分別求出相應(yīng)向量夾角的余弦值，確定該三角形三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0即可．
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平面向量基本定理及坐標(biāo)表示PPT，第四部分內(nèi)容：課后 • 素養(yǎng)培優(yōu)
一、不等價(jià)轉(zhuǎn)化致錯(cuò)——由向量夾角求參數(shù)的取值范圍不能忽視向量共線的情況
邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算
利用數(shù)量積的符號(hào)判斷兩向量夾角的范圍時(shí)，不要忽視兩向量共線的情況．
[典例1] 已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是________．
[素養(yǎng)提升] 對(duì)非零向量a與b，設(shè)其夾角為θ，則θ為銳角⇔cos θ>0且cos θ≠1⇔a•b>0且a≠mb(m>0)；θ為鈍角⇔cos θ<0且cos θ≠－1⇔a•b<0且a≠mb(m<0)；θ為直角⇔cos θ＝0⇔a•b＝0.
二、與向量模最值有關(guān)的問(wèn)題
邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算
求向量模的最值(范圍)的方法
(1)代數(shù)法：把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解．
(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解．
[典例2] 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA→＋3PB→|的最小值為_(kāi)_______．
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