《平面向量基本定理及坐標表示》平面向量及其應用PPT下載(平面向量數量積的坐標表示)
第一部分內容：內容標準
1.能用坐標表示平面向量的數量積．
2.會用坐標表示兩個平面向量的夾角．
3.能用坐標表示平面向量垂直的條件.
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平面向量基本定理及坐標表示PPT，第二部分內容：課前 • 自主探究
[教材提煉]
知識點一 平面向量的數量積與向量垂直的坐標表示
預習教材，思考問題
已知兩個向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)若i，j是兩個互相垂直且分別與x軸、y軸的正半軸同向的向量，則a，b如何用i、j表示？
(2)能否用a、b的坐標表示a•b？怎樣表示？
(3)向量垂直與數量積的關系是什么？能用坐標表示向量垂直嗎？
知識點二 平面向量的模與夾角的坐標表示
預習教材，思考問題
已知兩個向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
|a|，|b|分別用坐標怎樣表示？a、b的夾角能否用坐標表示？
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平面向量基本定理及坐標表示PPT，第三部分內容：課堂 • 互動探究
探究一 數量積的坐標運算
[例1] 已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)．
(1)求a•(a－b)；
(2)求(a＋b)•(2a－b)；
(3)若c＝(2,1)，求(a•b)c，a(b•c)．
[分析] 根據坐標運算法則，結合數量積的運算律進行計算．
[解析] (1)法一：∵a＝(－1,2)，b＝(3,2)，
∴a－b＝(－4,0)．
∴a•(a－b)＝(－1,2)•(－4,0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
法二：a•(a－b)＝a2－a•b
＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
(2)∵a＋b＝(－1,2)＋(3,2)＝(2,4)，
2a－b＝2(－1,2)－(3,2)＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)，
∴(a＋b)•(2a－b)＝(2,4)•(－5,2)＝2×(－5)＋4×2＝－2.
方法提升
數量積運算的途徑及注意點
(1)進行向量的數量積運算，前提是牢記有關的運算法則和運算性質．解題時通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行數量積運算；二是先利用數量積的運算律將原式展開，再依據已知計算．
(2)對于以圖形為背景的向量數量積運算的題目，只需把握圖形的特征，建立平面直角坐標系，寫出相應點的坐標即可求解．
探究二 向量平行與垂直的坐標形式的應用
[例3] 已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
方法提升
1．已知向量垂直求參數問題，即由相應向量的數量積為0建立關于參數的方程，求解即可．
2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
若a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
若a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.
兩個命題不能混淆，可以對比學習，分別簡記為：縱橫交錯積相等，橫橫縱縱積相反．
探究三 求向量的夾角
[例4] (1)已知a＝(1，3)，b＝(3＋1，3－1)，求a與b的夾角；
(2)已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,5)，求證△ABC是銳角三角形．
[分析] (1)分別求出a•b，|a|，|b|，代入夾角公式求解；
(2)△ABC是銳角三角形，即三個內角都是銳角，分別求出相應向量夾角的余弦值，確定該三角形三個內角的余弦值均大于0即可．
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平面向量基本定理及坐標表示PPT，第四部分內容：課后 • 素養(yǎng)培優(yōu)
一、不等價轉化致錯——由向量夾角求參數的取值范圍不能忽視向量共線的情況
邏輯推理、數學運算
利用數量積的符號判斷兩向量夾角的范圍時，不要忽視兩向量共線的情況．
[典例1] 已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是________．
[素養(yǎng)提升] 對非零向量a與b，設其夾角為θ，則θ為銳角⇔cos θ>0且cos θ≠1⇔a•b>0且a≠mb(m>0)；θ為鈍角⇔cos θ<0且cos θ≠－1⇔a•b<0且a≠mb(m<0)；θ為直角⇔cos θ＝0⇔a•b＝0.
二、與向量模最值有關的問題
邏輯推理、數學運算
求向量模的最值(范圍)的方法
(1)代數法：把所求的模表示成某個變量的函數，再用求最值的方法求解．
(2)幾何法(數形結合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，結合動點表示的圖形求解．
[典例2] 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點，則|PA→＋3PB→|的最小值為________．
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