《平面向量的應用》平面向量及其應用PPT下載(第四課時余弦定理、正弦定理應用舉例)
第一部分內容：內容標準
1.了解實際測量中專用名詞與術語．
2.熟練掌握正、余弦定理．
3.能用余弦定理、正弦定理解決簡單的距離、高度及角度等實際問題.
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平面向量的應用PPT，第二部分內容：課前 • 自主探究
[教材提煉]
知識點一 實際應用問題中的專用名詞與術語
知識梳理 (1)基線：在測量過程中，我們把根據(jù)測量的需要而確定的_____叫做基線．為使測量具有較高的精確度，應根據(jù)實際需要選取合適的基線長度．一般來說，基線越_____，測量的精確度越高．
(2)仰角和俯角：在目標視線和水平視線所成的角中，目標視線在水平視線_____的角叫仰角，目標視線在水平視線_____的角叫俯角(如圖①)．
(3)方位角：指從正北方向按_____轉到目標方向線所轉過的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)．
(4)方向角：從指定方向線到目標方向線所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向為始邊，順時針方向向西旋轉60°.
知識點二 解決實際問題的步驟
知識梳理 解三角形應用題的一般步驟
[自主檢測]
1．為了測量B，C之間的距離，在河岸A，C處測量，如圖，測得下面四組數(shù)據(jù)，較合理的是( )
A．c與α B．c與b
C．b，c與β D．b，α與γ
2．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關系是( )
A．α>β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
3．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的( )
A．北偏東10° B．北偏西10°
C．南偏東10° D．南偏西10°
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平面向量的應用PPT，第三部分內容：課堂 • 互動探究
探究一 求距離問題
[例1] 如圖，隔河看到兩個目標A，B，但不能到達，在岸邊選取相距3 km的C，D兩點，并測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內)，求兩個目標A，B之間的距離．
[解析] 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝3(km)．
在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.
方法提升
1.測量兩個不可到達的點之間的距離問題，一般是把求距離問題轉化為應用余弦定理求三角形的邊長的問題．然后把求未知的另外邊長問題轉化為只有一點不能到達的兩點距離測量問題，然后運用正弦定理解決．
2．如圖所示，不可到達的A，B是地面上兩點，要測量A，B兩點之間的距離，步驟是：
(1)取基線CD；
(2)測量CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠BDA；
(3)在△ACD中，解三角形得AC，在△BCD中，解三角形得BC；
(4)在△ABC中，利用余弦定理得
AB＝AC2＋BC2－2AC•BC•cos ∠ACB.
探究二 求高度問題
[例2] 在平地上有A、B兩點，點A在山坡D的正東，點B在山坡D的東南，而且在A的南偏西15°，且距A為1502 m的地方，在A處測山坡頂C的仰角為30°，求山坡的高度．
[解析] 如圖所示，在△ADB中，AB＝1502，∠ADB＝45°，
∠DAB＝90°－15°＝75°，
∴∠DBA＝180°－45°－75°＝60°.
方法提升
對于底部不可到達的建筑物的高度測量問題，我們可選擇一條過建筑物底部點的基線，在基線和基線所在的平面上取另外兩點，這樣四點可以構成兩個小三角形．其中，把不含未知高度的那個小三角形作為依托，從中解出相關量，進而應用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理解決即可．
探究三 求角度問題
[例3] 某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出求救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45°，距離為10 km的C處，并測得漁船正沿方位角為105°的方向，以10 km/h的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以103 km/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間．
方法提升
1．三角形問題中，求某些角的度數(shù)時，最好用余弦定理，這是因為：余弦函數(shù)在(0，π)上是單調遞減的，由所求得余弦值，不用判斷角的個數(shù)問題(主要區(qū)別鈍角、銳角問題)，答案是唯一的，而正弦函數(shù)在(0，π)上不是單調的，因而求出正弦值后有兩個角對應，還需判斷角的合理性．若用正弦定理求角，應結合具體圖形來判斷角的解的個數(shù)，也可盡量地利用直角三角形來解答．
2．測量角度問題的情境屬于“根據(jù)需要對某些物體定位”，測量數(shù)量越準確，定位精度越高．
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平面向量的應用PPT，第四部分內容：課后 • 素養(yǎng)培優(yōu)
函數(shù)與方程思想——解三角形應用舉例中的應用
直觀想象、數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學運算
函數(shù)與方程思想在三角形應用舉例中有著廣泛的應用，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可以設出第三邊，利用余弦定理列方程求解；對于三角形中的最值問題，可建立函數(shù)模型，轉化為函數(shù)最值問題解決．
[典例] 某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇．
(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？
(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由．
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