人教版八年級數(shù)學(xué)上冊《線段的垂直平分線的性質(zhì)》軸對稱PPT課件(第1課時(shí)),共29頁。
素養(yǎng)目標(biāo)
1.理解線段垂直平分線的性質(zhì)和判定.
2.能運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定解決實(shí)際問題.
3.會用尺規(guī)經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線,了解作圖的道理.
探究新知
線段的垂直平分線的性質(zhì)定理
如圖,直線l 垂直平分線段AB,P1,P2,P3……是l 上的點(diǎn),請猜想點(diǎn)P1,P2,P3 ……到點(diǎn)A 與點(diǎn)B 的距離之間的數(shù)量關(guān)系.
猜想與證明
猜想:“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.”
已知:如圖,直線l⊥AB,垂足為C,AC =CB,點(diǎn)P 在l 上.
求證:PA =PB.
證明:∵ l⊥AB,
∴ ∠PCA =∠PCB.
又 AC =CB,PC =PC,
∴ △PCA ≌△PCB(SAS).
∴ PA =PB.
線段垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
線段的垂直平分線的判定定理
反過來,如果PA =PB,那么點(diǎn)P 是否在線段AB 的垂直平分線上呢?
點(diǎn)P 在線段AB 的垂直平分線上.
已知:如圖,PA =PB.
求證:點(diǎn)P 在線段AB 的垂直平分線上.
證明:過點(diǎn)P 作線段AB 的垂線PC,
垂足為C.則∠PCA =∠PCB =90°.
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中,
∵ PA =PB,PC =PC,
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB(HL).
∴ AC =BC.
又 PC⊥AB,
∴ 點(diǎn)P 在線段AB 的垂直平分線上.
用數(shù)學(xué)符號表示為:
∵PA =PB,
∴點(diǎn)P 在AB 的垂直平分線上.
到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.
線段垂直平分線的判定定理的應(yīng)用
例 如圖,已知:在△ABC中,AB=AC,O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且OB=OC,求證:AO⊥BC.
證明:∵OB=OC,
∴點(diǎn)O在BC的垂直平分線上.
又AB=AC,
∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線上,
即A,O均在BC的垂直平分線上,
∴AO⊥BC.
過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線
如何用尺規(guī)作圖的方法經(jīng)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線?
(1)任意取一點(diǎn)K,使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁.
(2)以點(diǎn)C為圓心,CK長為半徑作弧,交AB于點(diǎn)D和E.
(3)分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心,大于1/2DE的長為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)F.
(4)作直線CF.
直線CF就是所求作的垂線.
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