《二倍角的正弦、余弦、正切公式》三角函數(shù)PPT
第一部分內(nèi)容：課標(biāo)闡釋
1.會(huì)推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能夠靈活運(yùn)用二倍角公式解決求值、化簡(jiǎn)和證明等問(wèn)題.
3.要注意體會(huì)二倍角公式與和差公式的內(nèi)在聯(lián)系.
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二倍角的正弦余弦正切公式PPT，第二部分內(nèi)容：自主預(yù)習(xí)
一、二倍角的正弦、余弦和正切公式
1.在兩角和的正弦、余弦、正切公式中,令β=α,將得到怎樣的結(jié)果?
提示:sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α,cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α,tan(α+α)=(tanα+tanα)/(1"-" tan^2 α),即sin 2α=2sin αcos α,cos 2α=cos2α-sin2α,tan 2α=2tanα/(1"-" tan^2 α).
2.上述cos 2α的式子能否變成只含有sin α或cos α形式的式子呢?
提示:根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式可得cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
3.填空
二倍角的正弦、余弦、正切公式
4.公式S2α,C2α,T2α的適用范圍
在公式S2α,C2α中,角α可以為任意角;但公式T2α只有當(dāng)α≠π/2+kπ,且α≠π/4+kπ/2(k∈Z)時(shí)才成立,否則不成立
("因?yàn)楫?dāng)" α=π/2+kπ"," k"∈" Z"時(shí)," tanα"的值不存在;當(dāng)" α=π/4+┤ ├ kπ/2 "," k"∈" Z"時(shí)," tan2α"的值不存在" ).當(dāng)α=π/2+kπ,k∈Z時(shí),雖然tan α的值不存在,但tan 2α的值是存在的,這時(shí)求tan 2α的值可利用誘導(dǎo)公式,即tan 2α=tan2(π/2+kπ)=tan(π+2kπ)=tan π=0.
5.做一做
求下列各式的值.
(1)4sin 15°cos 15°=______________;
(2)若cos α=1/3,則cos 2α=______________;
(3)若tan θ=1/2,則tan 4θ=______________.
解析:(1)4sin 15°cos 15°=2•2sin 15°cos 15°
=2sin 30°=2×1/2=1.
(2)cos 2α=2cos2α-1=2(1/3)^2-1=-7/9.
(3)由已知得tan 2θ=2tanθ/(1"-" tan^2 θ)=(2×1/2)/(1"-" (1/2)^2 )=4/3,
所以tan 4θ=2tan2θ/(1"-" tan^2 2θ)=(2×4/3)/(1"-" (4/3)^2 )=-24/7.
答案:(1)1 (2)-7/9 (3)-24/7
二、二倍角公式的變形
1.若將1±sin 2α中的“1”用sin2α+cos2α代換,那么1±sin 2α可化為什么形式?
提示:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.
2.根據(jù)二倍角的余弦公式,sin α,cos α與cos 2α的關(guān)系分別如何?
提示:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,
sin2α=(1"-" cos2α)/2,cos2α=(1+cos2α)/2.
3.填空
(1)1±sin 2α=(sin α±cos α)2;
(2)升冪縮角公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α;
(3)降冪擴(kuò)角公式:sin2α=(1"-" cos2α)/2,cos2α=(1+cos2α)/2.
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二倍角的正弦余弦正切公式PPT，第三部分內(nèi)容：探究學(xué)習(xí)
利用二倍角公式解決給角求值問(wèn)題
例1求下列各式的值:
(1)sin π/12cos π/12;(2)1-2sin2750°;(3)2tan150"°" /(1"-" tan^2 150"°" );
(4)cos 20°cos 40°cos 80°.
分析:對(duì)于(1)(2)(3),可直接逆用公式計(jì)算;對(duì)于(4),可將分子與分母同乘2sin 20°,然后連續(xù)逆用二倍角的正弦公式進(jìn)行求解.
解:(1)原式=(2sin" " π/12 cos" " π/12)/2=(sin" " π/6)/2=1/4.
(2)原式=cos(2×750°)=cos 1 500°
=cos(4×360°+60°)=cos 60°=1/2.
(3)原式=tan(2×150°)=tan 300°
=tan(360°-60°)=-tan 60°=-√3.
(4)原式=(2sin20"°•" cos20"°•" cos40"°•" cos80"°" )/2sin20"°"
=(2sin40"°•" cos40"°•" cos80"°" )/4sin20"°" =(2sin80"°•" cos80"°" )/8sin20"°"
=sin160"°" /8sin20"°" =1/8.
反思感悟 對(duì)于給角求值問(wèn)題,一般有兩類(lèi):
(1)直接正用或逆用二倍角公式,結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知角進(jìn)行轉(zhuǎn)化,一般可以化為特殊角.
(2)若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘,則一般逆用二倍角的正弦公式,在求解過(guò)程中,需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件,使得問(wèn)題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式.
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二倍角的正弦余弦正切公式PPT，第四部分內(nèi)容：思維辨析
忽視角的范圍致誤
典例 化簡(jiǎn):√(2+√(2+2cosα)) (2π<α<3π).
錯(cuò)解√(2+√(2+2cosα)) =√(2+2cos α/2)=2cosα/4.
錯(cuò)解錯(cuò)在什么地方?你能發(fā)現(xiàn)嗎?怎樣避免這類(lèi)錯(cuò)誤?
提示:錯(cuò)解中利用倍角公式從里到外去根號(hào)時(shí),只是機(jī)械地套用公式,而沒(méi)有考慮角的范圍對(duì)函數(shù)值的影響,從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.
正解:∵2π<α<3π,
∴π<α/2<3π/2,π/2<α/4<3π/4.
∴√(2+√(2+2cosα)) =√(2+√(4cos^2 α/2))
=√(2"-" 2cos α/2)=√(4sin^2 α/4)=2sinα/4.
防范措施 利用二倍角公式化簡(jiǎn)√(1±cosα)時(shí),由于1+cos α=2cos2α/2,1-cos α=2sin2α/2,則√(1+cosα)=√2 |cos α/2|,√(1"-" cosα)=√2 |sin α/2|,因此要根據(jù)α/2的終邊所在的象限確定sinα/2,cosα/2的符號(hào),從而去掉絕對(duì)值符號(hào),保持恒等變形.
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二倍角的正弦余弦正切公式PPT，第五部分內(nèi)容：隨堂演練
1.下列各式中,不一定成立的是( )
A.sin 8α=2sin 4αcos 4α
B.1-cos 2α=2sin2α
C.(sin α+cos α)2=1+sin 2α
D.tan 2α=2tanα/(1+tan^2 α)
解析:由二倍角公式可知A,B,C項(xiàng)均一定成立,D項(xiàng)中的公式不一定成立.
答案:D
2.已知sin α=-3/5,π<α<3π/2,則sin 2α等于( )
A.7/5 B.-1/5 C.-12/25 D.24/25
解析:∵sin α=-3/5,π<α<3π/2,∴cos α=-4/5.
∴sin 2α=2sin αcos α=2×("-" 3/5)×("-" 4/5)=24/25.
答案:D
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