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《簡單的三角恒等變換》三角函數(shù)PPT

《簡單的三角恒等變換》三角函數(shù)PPT 詳細(xì)介紹:

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《簡單的三角恒等變換》三角函數(shù)PPT

第一部分內(nèi)容:課標(biāo)闡釋

1.能用二倍角公式推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式.

2.理解半角的正弦、余弦和正切公式.

3.會(huì)用倍角公式和半角公式進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡和證明.

4.理解三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式的推導(dǎo)過程.

5.能利用積化和差與和差化積公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和證明.

6.學(xué)會(huì)初步運(yùn)用“輔助角”公式來化簡三角函數(shù)式,進(jìn)而研究函數(shù)圖象和性質(zhì),并能明確輔助角公式的使用條件.

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簡單的三角恒等變換PPT,第二部分內(nèi)容:自主預(yù)習(xí)

一、半角公式

1.二倍角公式是用單角α的三角函數(shù)來表示倍角2α的三角函數(shù),根據(jù)倍角關(guān)系的相對(duì)性,能否用單角α的三角函數(shù)來表示α/2的三角函數(shù)呢?

提示:由倍角公式可得sin2α/2=(1"-" cosα)/2,cos2α/2=(1+cosα)/2,開方即可得到sin α/2,cos α/2用cos α來表示的表達(dá)式.

2.填空

(半角公式)

(1)sin α/2=±√((1"-" cosα)/2) ("符號(hào)由"  α/2 "角所在的象限決定" );

(2)cos α/2=±√((1+cosα)/2) ("符號(hào)由"  α/2 "角所在的象限決定" );

(3)tan α/2=±√((1"-" cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1"-" cosα)/sinα

("符號(hào)由"  α/2 "角所在的象限決定" ).

二、積化和差、和差化積公式

1.(1)積化和差公式有何特點(diǎn)?

提示:積化和差公式中:同名三角函數(shù)之積化為兩角和與差余弦和(差)的一半,異名三角函數(shù)之積化為兩角和與差正弦和(差)的一半,等式左邊為單角α,β,等式右邊為它們的和與差.

(2)積化和差公式右側(cè)系數(shù)都為1/2嗎?

提示:否.如sin αsin β=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)].

(3)和差化積公式有何特點(diǎn)?

提示:余弦的和或差化為同名三角函數(shù)之積;正弦的和或差化為異名三角函數(shù)之積;等式左邊為單角x與y,等式右邊為(x+y)/2 與 (x"-" y)/2的形式.

2.填空 

(1)cos αcos β=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)];

sin αsin β=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)];

sin αcos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)];

cos αsin β=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)].

(2)sin x+sin y=2sin(x+y)/2cos(x"-" y)/2;

sin x-sin y=2cos(x+y)/2sin(x"-" y)/2;

cos x+cos y=2cos(x+y)/2cos(x"-" y)/2;

cos x-cos y=-2sin(x+y)/2sin(x"-" y)/2.

3.做一做

計(jì)算:(1)sin 52.5°cos 7.5°=___________; 

(2)sin αsin 3α=___________. 

答案:(1)(√3+√2)/4 (2)1/2cos 2α-1/2cos 4α

4.判斷正誤

(1)sin 5θ+sin 3θ=2sin 8θcos 2θ.(  )

(2)cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ.(  )

(3)sin 3θ-sin 5θ=-1/2cos 4θcos θ. (  )

(4)sin 5θ+cos 3θ=2sin 4θcos θ. (  )

(5)sin xsin y=1/2[cos(x-y)-cos(x+y)]. (  )

答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√

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簡單的三角恒等變換PPT,第三部分內(nèi)容:探究學(xué)習(xí)

半角公式的應(yīng)用

角度1 用半角公式解決求值問題

例1已知5π/2<θ<3π,且sin θ=24/25,求sin θ/2,cos θ/2,tan θ/2,cos θ/4的值.

分析:先由sin θ的值求出cos θ的值,再套用半角公式求出sin θ/2,cos θ/2,tan θ/2的值,再將θ/4視為θ/2的一半,繼續(xù)利用半角公式求出cos θ/4的值.

解:因?yàn)?π/2<θ<3π,且sin θ=24/25,

所以cos θ=-√(1"-" sin^2 θ)=-7/25.于是5π/4<θ/2<3π/2,

故sin θ/2=-√((1"-" cosθ)/2)=-√(1"-" ("-"  7/25)/2)=-4/5,

cos θ/2=-√((1+cosθ)/2)=-√((1+("-"  7/25))/2)=-3/5,

tan θ/2=(sin" "  θ/2)/(cos" "  θ/2)=4/3.

又因?yàn)?π/8<θ/4<3π/4,所以cos θ/4=-√((1+cos" "  θ/2)/2)=-√((1+("-"  3/5))/2)=-√5/5.

反思感悟 已知θ的某個(gè)三角函數(shù)值,求   的三角函數(shù)值的步驟是:(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得θ的其他三角函數(shù)值;(2)代入半角公式計(jì)算.

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簡單的三角恒等變換PPT,第四部分內(nèi)容:思維辨析

忽視對(duì)角的討論致誤 

典例 若2sin θ=1+cos θ,則tan θ/2的值等于(  )

A.1/2 B.1/2或不存在

C.2 D.2或1/2

錯(cuò)解由已知得sinθ/(1+cosθ)=1/2,即tan θ/2=1/2.故選A.

提示:錯(cuò)解中,由2sin θ=1+cos θ得出sinθ/(1+cosθ)=1/2時(shí),忘記了討論1+cos θ=0的情況,導(dǎo)致錯(cuò)誤.

正解:若1+cos θ=0,則cos θ=-1,θ=(2k+1)π,k∈Z,此時(shí)θ/2=kπ+π/2(k∈Z),則tan θ/2不存在;若1+cos θ≠0,則tan θ/2=sinθ/(1+cosθ)=1/2.

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簡單的三角恒等變換PPT,第五部分內(nèi)容:隨堂演練

1.設(shè)5π<θ<6π,cos θ/2=a,則sin θ/4等于(  )

A.√(1+a)/2 B.√(1"-" a)/2 C.-√((1+a)/2) D.-√((1"-" a)/2)

解析:若5π<θ<6π,則5π/4<θ/4<3π/2,則sin θ/4=-√((1"-" cos" "  θ/2)/2)=-√((1"-" a)/2).

答案:D 

2.化簡√(2+cos2"-" sin^2 1)的結(jié)果是(  )

A.-cos 1 B.cos 1      C.√3cos 1 D.-√3cos 1

解析:原式=√(2+1"-" 2sin^2 1"-" sin^2 1)=√(3"-" 3sin^2 1)=√(3"(" 1"-" sin^2 1")" )=√(3cos^2 1)=√3cos 1.

答案:C 

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