《均值不等式及其應(yīng)用》等式與不等式PPT課件(第1課時(shí)均值不等式)
第一部分內(nèi)容：學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
1.掌握均值不等式，明確均值不等式成立的條件．(難點(diǎn))
2．會(huì)用均值不等式證明一些簡(jiǎn)單的不等式或比較代數(shù)式的大小．(重點(diǎn))
核 心 素 養(yǎng)
1.通過不等式的證明，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)．
2．通過均值不等式形式求簡(jiǎn)單的最值問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).
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均值不等式及其應(yīng)用PPT，第二部分內(nèi)容：自主預(yù)習(xí)探新知
新知初探
1．算術(shù)平均值與幾何平均值
對(duì)于正數(shù)a，b，常把a(bǔ)＋b2叫做a，b的_________，把a(bǔ)b叫做a，b的_________．
2．均值不等式
(1)當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，有a＋b2 ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立；
(2)均值不等式的常見變形
①當(dāng)a＞0，b＞0，則a＋b≥2ab；
②若a＞0，b＞0，則ab a＋b22.
初試身手
1．不等式a2＋1≥2a中等號(hào)成立的條件是( )
A．a(chǎn)＝±1 B．a(chǎn)＝1
C．a(chǎn)＝－1 D．a(chǎn)＝0
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是( )
A．a(chǎn)2＋b2 B．2ab C．2ab D．a(chǎn)＋b
3．已知ab＝1，a>0，b>0，則a＋b的最小值為( )
A．1 B．2 C．4 D．8
4．當(dāng)a，b∈R時(shí)，下列不等關(guān)系成立的是________．
①a＋b2≥ab；②a－b≥2ab；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
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均值不等式及其應(yīng)用PPT，第三部分內(nèi)容：合作探究提素養(yǎng)
對(duì)均值不等式的理解
【例1】給出下面三個(gè)推導(dǎo)過程：
①∵a，b為正實(shí)數(shù)，∴ba＋ab≥2ba•ab＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a•a＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，∴xy＋yx＝－－xy＋－yx≤－2－xy－yx＝－2.
其中正確的推導(dǎo)為( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
規(guī)律方法
1．均值不等式ab≤a＋b2 (a＞0，b＞0)反映了兩個(gè)正數(shù)的和與積之間的關(guān)系．
2．對(duì)均值不等式的準(zhǔn)確掌握要抓住以下兩個(gè)方面：
(1)定理成立的條件是a，b都是正數(shù)．
(2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：當(dāng)a＝b時(shí)，ab≤a＋b2的等號(hào)成立，即a＝b⇒a＋b2＝ab；僅當(dāng)a＝b時(shí)，a＋b2≥ab的等號(hào)成立，即a＋b2＝ab⇒a＝b.
利用均值不等式比較大小
【例2】(1)已知a，b∈(0，＋∞)，則下列各式中不一定成立的是( )
A．a(chǎn)＋b≥2ab B.ba＋ab≥2
C.a2＋b2ab≥2ab D.2aba＋b≥ab
(2)已知a，b，c是兩兩不等的實(shí)數(shù)，則p＝a2＋b2＋c2與q＝ab＋bc＋ca的大小關(guān)系是________．
規(guī)律方法
1．在理解均值不等式時(shí)，要從形式到內(nèi)含中理解，特別要關(guān)注條件．
2．運(yùn)用均值不等式比較大小時(shí)應(yīng)注意成立的條件，即a＋b≥2ab成立的條件是a>0，b>0，等號(hào)成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，等號(hào)成立的條件是a＝b.
利用均值不等式證明不等式
【例3】已知a，b，c是互不相等的正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：1a＋1b＋1c>9.
規(guī)律方法
1．條件不等式的證明，要將待證不等式與已知條件結(jié)合起來考慮，比如本題通過“1”的代換，將不等式的左邊化成齊次式，一方面為使用均值不等式創(chuàng)造條件，另一方面可實(shí)現(xiàn)約分與不等式的右邊建立聯(lián)系．
2．先局部運(yùn)用均值不等式，再利用不等式的性質(zhì)(注意限制條件)，通過相加(乘)合成為待證的不等式，既是運(yùn)用均值不等式時(shí)的一種重要技能，也是證明不等式時(shí)的一種常用方法．
課堂小結(jié)
1．應(yīng)用均值不等式時(shí)要時(shí)刻注意其成立的條件，只有當(dāng)a>0，b>0時(shí)，才會(huì)有ab≤a＋b2.對(duì)于“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí)，‘＝’成立…”這句話要從兩個(gè)方面理解：一方面，當(dāng)a＝b時(shí)，a＋b2＝ab；另一方面：當(dāng)a＋b2＝ab時(shí)，也有a＝b.
2．應(yīng)用均值不等式證明不等式的關(guān)鍵在于進(jìn)行“拼”“湊”“拆”“合”“放縮”等變形，構(gòu)造出符合均值不等式的條件結(jié)構(gòu).
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均值不等式及其應(yīng)用PPT，第四部分內(nèi)容：當(dāng)堂達(dá)標(biāo)固雙基
1．思考辨析
(1)對(duì)任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立．( )
(2)若a≠0，則a＋1a≥2a•1a＝2.( )
(3)若a>0，b>0，則ab≤a＋b22.( )
[提示](1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，當(dāng)a，b都為正數(shù)時(shí)，不等式a＋b≥2ab成立．
(2)只有當(dāng)a>0時(shí)，根據(jù)均值不等式，才有不等式a＋1a≥2a•1a＝2成立．
(3)因?yàn)閍b≤a＋b2，所以ab≤a＋b22.
2．設(shè)a>b>0，則下列不等式中一定成立的是( )
A．a(chǎn)－b<0 B．0<ab<1
C.ab<a＋b2 D．a(chǎn)b>a＋b
3．不等式9x－2＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等號(hào)成立的條件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
4．設(shè)a>0，b>0，證明：b2a＋a2b≥a＋b.
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