《函數(shù)及其表示方法》函數(shù)的概念與性質PPT課件(第1課時函數(shù)的概念)
第一部分內容:學 習 目 標
1.進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關系的重要數(shù)學模型.能用集合與對應的語言刻畫出函數(shù),體會對應關系在刻畫數(shù)學概念中的作用.(重點、難點)
2.了解構成函數(shù)的要素,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.(重點)
核 心 素 養(yǎng)
1.通過學習函數(shù)的概念,培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng).
2.借助函數(shù)定義域的求解,培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng).
3.借助f(x)與f(a)的關系,培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).
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函數(shù)及其表示方法PPT,第二部分內容:自主預習探新知
新知初探
1.函數(shù)的概念
定義
給定兩個_________A與B,以及對應關系f,如果對于集合A中的______實數(shù)x,按照對應關系f,在集合B中都有______確定的實數(shù)y=f(x)與x對應,則稱f為定義在集合A上的一個______,記作:y=f(x),x∈A,其中x稱為自變量,y稱為因變量
三要素
對應關系 y=f(x),x∈A
定義域 自變量x的取值的范圍 (即數(shù)集A)
值域 所有函數(shù)值組成的集合{y∈B|y=f(x),x∈__}
思考:(1)有人認為“y=f(x)”表示的是“y等于f與x的乘積”,這種看法對嗎?
(2)f(x)與f(a)有何區(qū)別與聯(lián)系?
提示:(1)這種看法不對.
符號y=f(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學表示,應理解為x是自變量,f是對應關系,y是自變量的函數(shù),當x允許取某一具體值時,相應的y值為與該自變量值對應的函數(shù)值.y=f(x)僅僅是函數(shù)符號,不表示“y等于f與x的乘積”.在研究函數(shù)時,除用符號f(x)外,還常用g(x),h(x)等來表示函數(shù).
(2)f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系:f(a)表示當x=a時,函數(shù)f(x)的值,是一個常量,而f(x)是自變量x的函數(shù),一般情況下,它是一個變量,f(a)是f(x)的一個特殊值,如一次函數(shù)f(x)=3x+4,當x=8時,f(8)=3×8+4=28是一個常數(shù).
2.兩個函數(shù)相同
一般地,如果兩個函數(shù)的定義域______,對應關系也______(即對自變量的每一個值,兩個函數(shù)對應的函數(shù)值都相等),則稱這兩個函數(shù)就是同一個函數(shù).
初試身手
1.思考辨析
(1)函數(shù)y=f(x)=x2,x∈A與u=f(t)=t2,t∈A表示的是同一個函數(shù).( )
(2)函數(shù)y=f(x)=x2,x∈[0,2]與g(x)=2x,x∈[0,2]表示的是同一個函數(shù).( )
(3)函數(shù)y=f(x)=x2,x∈[0,2]與h(x)=x2,x∈(0,2)表示同一個函數(shù).( )
[提示](1)兩個函數(shù)定義域相同,對應關系也相同.
(2)兩函數(shù)的對應關系不同.
(3)兩函數(shù)的定義域不同.
2.函數(shù)y=1x+1的定義域是( )
A.[-1,+∞) B.[-1,0)
C.(-1,+∞) D.(-1,0)
3.若f(x)=11-x2,則f(3)=________.
4.下表表示y是x的函數(shù),則函數(shù)的值域是________.
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函數(shù)及其表示方法PPT,第三部分內容:合作探究提素養(yǎng)
函數(shù)的概念
【例1】(1)下列四組函數(shù),表示同一函數(shù)的是( )
A.f(x)=x2,g(x)=x
B.f(x)=x,g(x)=x2x
C.f(x)=3x3,g(x)=x
D.f(x)=x2,g(x)=(x)4
(2)判斷下列對應f是否為定義在集合A上的函數(shù).
①A=R,B=R,對應法則f:y=1x2;
②A={1,2,3},B=R,f(1)=f(2)=3,f(3)=4;
③A={1,2,3},B={4,5,6},對應法則如圖所示.
(1)C [選項A中,由于f(x)=x2=|x|,g(x)=x兩函數(shù)對應法則不同,所以它們不是同一函數(shù);
選項B中,由于f(x)=x的定義域為R,g(x)=x2x的定義域為{x|x≠0},它們的定義域不相同,所以它們不是同一函數(shù);
選項C中,f(x)=3x3=x,g(x)=x的定義域和對應法則完全相同,所以它們是同一函數(shù);
選項D中,f(x)=x2的定義域為R,g(x)=(x)4=x2的定義域為[0,+∞),兩個函數(shù)的定義域不相同,所以它們不是同一函數(shù).]
(2)[解]①A=R,B=R,對于集合A中的元素x=0,在對應法則f:y=1x2的作用下,在集合B中沒有元素與之對應,故所給對應不是定義在A上的函數(shù).
②由f(1)=f(2)=3,f(3)=4,知集合A中的每一個元素在對應法則f的作用下,在集合B中都有唯一的元素與之對應,故所給對應是定義在A上的函數(shù).
③集合A中的元素3在集合B中沒有與之對應的元素,且集合A中的元素2在集合B中有兩個元素(5和6)與之對應,故所給對應不是定義在A上的函數(shù).
規(guī)律方法
1.判斷對應關系是否為函數(shù)的2個條件
(1)A,B必須是非空實數(shù)集.
(2)A中任意一元素在B中有且只有一個元素與之對應.
對應關系是“一對一”或“多對一”的是函數(shù)關系,“一對多”的不是函數(shù)關系.
2.判斷函數(shù)相等的方法
(1)先看定義域,若定義域不同,則不相等;
(2)若定義域相同,再化簡函數(shù)的解析式,看對應關系是否相同.
課堂小結
1.判斷兩個函數(shù)相同
函數(shù)的定義主要包括定義域和定義域到值域的對應法則,因此,判定兩個函數(shù)是否相同時,就看定義域和對應法則是否完全一致,完全一致的兩個函數(shù)才算相同.
2.對函數(shù)定義的再理解
(1)函數(shù)的定義域必須是非空實數(shù)集,因此定義域為空集的函數(shù)不存在.如y=11-x+x-3就不是函數(shù);集合A中的元素是實數(shù),即A≠∅且A⊆R.
(2)函數(shù)定義中強調“三性”:任意性、存在性、唯一性,即對于非空數(shù)集A中的任意一個(任意性)元素x,都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y與之對應.這三性只要有一個不滿足,便不能構成函數(shù).
(3)函數(shù)f(x)的定義域是非空數(shù)集A,但值域不一定是非空數(shù)集B,而是非空數(shù)集B的子集.
例如,對于從集合A=R到集合B=R的函數(shù)y=x2,值域是{y|y≥0},而不是R.
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函數(shù)及其表示方法PPT,第四部分內容:當堂達標固雙基
1.思考辨析
(1)函數(shù)的定義域和對應關系確定后,函數(shù)的值域也就確定了.( )
(2)函數(shù)值域中每一個數(shù)在定義域中一定只有一個數(shù)與之對應.( )
(3)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合.( )
2.下列函數(shù)中,與函數(shù)y=x相等的是( )
A.y=(x)2 B.y=x2
C.y=|x| D.y=3x3
3.將函數(shù)y=31-1-x的定義域為________.
4.已知函數(shù)f(x)=x+1x.
(1)求f(x)的定義域;
(2)求f(-1),f(2)的值;
(3)當a≠-1時,求f(a+1)的值.
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