《函數(shù)的單調(diào)性》函數(shù)PPT
第一部分內(nèi)容：課標(biāo)闡釋
1.理解函數(shù)的單調(diào)性的概念.
2.會(huì)用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷和證明一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性.
3.能從給定的函數(shù)圖像上直觀(guān)得出函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間.
4.掌握函數(shù)單調(diào)性的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用.
5.理解函數(shù)的平均變化率.
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函數(shù)的單調(diào)性PPT，第二部分內(nèi)容：自主預(yù)習(xí)
知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)單調(diào)性的概念
1.思考
(1)對(duì)于函數(shù)y=1/x,x∈(0,+∞),隨著自變量x的增大,函數(shù)值y有何變化規(guī)律?函數(shù)y=1/x,x∈(-∞,0)的情況呢?
提示:①對(duì)于函數(shù)y=1/x,x∈(0,+∞)任意取x∈(0,+∞),隨著x取值的增大,函數(shù)值y是減小的;
②對(duì)于y=1/x,x∈(-∞,0)任意取x∈(-∞,0),隨著x取值的增大,函數(shù)值y也是減小的.
(2)“函數(shù)y=1/x在區(qū)間(-∞,0)∪(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù)”是否正確?
提示:不正確,函數(shù)y=1/x的單調(diào)區(qū)間不能取并集,應(yīng)寫(xiě)為(-∞,0),(0,+∞)或(-∞,0)和(0,+∞).
(3)若把增、減函數(shù)定義中的“任意x1,x2”改為“存在x1,x2”可以嗎?
提示:不可以,如圖:
雖然Δx=2-(-1)>0,Δy=f(2)-f(-1)>0,但f(x)在[-1,2]上并不是單調(diào)函數(shù).因此“任意”兩字不能忽視,更不能用“特殊”取代.
為了方便也可將定義改為:如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1≠x2時(shí),總有(f"(" x_1 ")-" f"(" x_2 ")" )/(x_1 "-" x_2 )>0(<0) ,那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù).
2.填空
一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,且M⊆A.
(1)如果對(duì)任意x1,x2∈M,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),則稱(chēng)y=f(x)在M上是增函數(shù)(也稱(chēng)在M上單調(diào)遞增),如圖(1)所示.
(2)如果對(duì)任意x1,x2∈M,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2),則稱(chēng)y=f(x)在M上是減函數(shù)(也稱(chēng)在M上單調(diào)遞減),如圖(2)所示.
如果一個(gè)函數(shù)在M上是增函數(shù)或是減函數(shù),就說(shuō)這個(gè)函數(shù)在M上具有單調(diào)性(當(dāng)M為區(qū)間時(shí),稱(chēng)M為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間).
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函數(shù)的單調(diào)性PPT，第三部分內(nèi)容：探究學(xué)習(xí)
用定義法證明(判斷)函數(shù)的單調(diào)性
例1 利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)=1/x^2 在(-∞,0)內(nèi)是增函數(shù).
分析:解題的關(guān)鍵是對(duì)Δy=f(x2)-f(x1)合理變形,最終要變?yōu)閹讉�(gè)最簡(jiǎn)單因式乘積或相除的形式,以便于判號(hào).
證明設(shè)x1,x2是(-∞,0)內(nèi)的任意兩個(gè)值,且x1<x2,則Δx=x2-x1>0,
Δy=f(x2)-f(x1)=1/(x_2^2 )-1/(x_1^2 )=(x_1^2 "-" x_2^2)/(x_1^2 "•" x_2^2 )
=("(" x_1 "-" x_2 ")(" x_1+x_2 ")" )/(x_1^2 "•" x_2^2 )=("-" Δx"•(" x_1+x_2 ")" )/(x_1^2 "•" x_2^2 ),
∵x_1^2•x_2^2>0,x1+x2<0,-Δx<0,∴Δy>0.
∴函數(shù)f(x)=1/x^2 在(-∞,0)內(nèi)是增函數(shù).
反思感悟證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟
1.取值:設(shè)x1,x2為給定區(qū)間內(nèi)任意的兩個(gè)值,且x1<x2(在證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí),由于x1,x2的取值具有任意性,它代表區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)數(shù),所以在證明時(shí),不能用特殊值來(lái)代替它們);
2.作差變形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并將差向有利于判斷差值的符號(hào)的方向變形(作差后,盡量把差化成幾個(gè)簡(jiǎn)單因式的乘積或幾個(gè)完全平方式的和的形式,這是值得學(xué)習(xí)的解題技巧,在判斷因式的正負(fù)號(hào)時(shí),經(jīng)常采用這種變形方法);
3.定號(hào):判斷符號(hào)的依據(jù)是自變量的取值范圍、假定的大小關(guān)系及符號(hào)的運(yùn)算法則;
4.判斷:根據(jù)定義作出結(jié)論(若Δx=x2-x1與Δy=f(x2)-f(x1)同號(hào),則函數(shù)在給定區(qū)間是增函數(shù);異號(hào),則是減函數(shù)).
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函數(shù)的單調(diào)性PPT，第四部分內(nèi)容：思維辨析
分類(lèi)討論思想在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用
典例 討論函數(shù)f(x)=ax/(x^2 "-" 1)(-1<x<1,a≠0)的單調(diào)性.
思路點(diǎn)撥:要討論函數(shù)的單調(diào)性,只需要用定義判定,由于函數(shù)中含有參數(shù),因此要注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用.
解:設(shè)x1,x2是(-1,1)內(nèi)的任意兩個(gè)自變量,且x1<x2.
則f(x1)-f(x2)=(ax_1)/(x_1^2 "-" 1)-(ax_2)/(x_2^2 "-" 1)=(a"(" x_1 x_2+1")(" x_2 "-" x_1 ")" )/("(" x_1^2 "-" 1")(" x_2^2 "-" 1")" ).
∵x1x2+1>0,x2-x1>0,x_1^2-1<0,x_2^2-1<0,
∴當(dāng)a>0時(shí),f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
此時(shí)f(x)在(-1,1)內(nèi)是減函數(shù);
當(dāng)a<0時(shí),f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
此時(shí)f(x)在(-1,1)內(nèi)是增函數(shù).
綜上所述,當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)在(-1,1)內(nèi)是減函數(shù);
當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)在(-1,1)內(nèi)是增函數(shù).
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函數(shù)的單調(diào)性PPT，第五部分內(nèi)容：當(dāng)堂檢測(cè)
1.下列函數(shù)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)為增函數(shù)的是( )
A.f(x)=3-x B.f(x)=1/(x"-" 1)
C.f(x)=x2-2x-1 D.f(x)=-|x|
解析:設(shè)任意x1,x2∈(-∞,0),Δx=x2-x1>0,選項(xiàng)A中,Δy=f(x2)-f(x1)=(3-x2)-(3-x1)=x1-x2<0,所以該函數(shù)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)為減函數(shù);同理可判斷選項(xiàng)B中和選項(xiàng)C中函數(shù)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)為減函數(shù),選項(xiàng)D中函數(shù)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)為增函數(shù).
答案:D
2.下列命題正確的是( )
A.定義在(a,b)內(nèi)的函數(shù)f(x),若存在x1<x2,使得f(x1)<f(x2),則f(x)在(a,b)內(nèi)為增函數(shù)
B.定義在(a,b)內(nèi)的函數(shù)f(x),若有無(wú)數(shù)多對(duì)x1,x2∈(a,b),使得當(dāng)x1<x2時(shí)有f(x1)<f(x2),則f(x)在(a,b)內(nèi)為增函數(shù)
C.若f(x)在區(qū)間I1上為增函數(shù),在區(qū)間I2上也為增函數(shù),則f(x)在I1∪I2上為增函數(shù)
D.若f(x)在區(qū)間I上為增函數(shù),且f(x1)<f(x2)(x1,x2∈I),則x1<x2
解析:根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義來(lái)判斷.
答案:D
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