《函數(shù)的單調(diào)性》函數(shù)的概念與性質(zhì)PPT課件(第1課時(shí)單調(diào)性的定義與證明)

《函數(shù)的單調(diào)性》函數(shù)的概念與性質(zhì)PPT課件(第1課時(shí)單調(diào)性的定義與證明)

第一部分內(nèi)容：學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)

1.理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義，能運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的單調(diào)性．(重點(diǎn))

2．會(huì)用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷(或證明)一些函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求一些具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(重點(diǎn)、難點(diǎn))

3．理解函數(shù)的最大值和最小值的概念，能借助函數(shù)的圖像和單調(diào)性，求一些簡單函數(shù)的最值．(重點(diǎn)、難點(diǎn))

核 心 素 養(yǎng)

1.借助單調(diào)性判斷與證明，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)．

2．利用求單調(diào)區(qū)間、最值、培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

3．利用函數(shù)的最值解決實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

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函數(shù)的單調(diào)性PPT，第二部分內(nèi)容：自主預(yù)習(xí)探新知

新知初探

1．增函數(shù)與減函數(shù)的定義

條件  一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，且M⊆A：如果對(duì)任意x1，x2∈M，當(dāng)x1＞x2時(shí)

都有f(x1)＞f(x2) 都有f(x1)＜f(x2)

結(jié)論  y＝f(x)在M上是增函數(shù)(也稱在M上單調(diào)遞增) y＝f(x)在M上是減函數(shù)(也稱在M上單調(diào)遞減)

思考1：增(減)函數(shù)定義中的x1，x2有什么特征？

提示：定義中的x1，x2有以下3個(gè)特征

(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字絕不能去掉，證明時(shí)不能以特殊代替一般；

(2)有大小，通常規(guī)定x1＞x2；

(3)屬于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間．

2．函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y＝f(x)在M上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在M上具有(當(dāng)M為區(qū)間時(shí)，稱M為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，也可分別稱為單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間)．

思考2：函數(shù)y＝1/x在定義域上是減函數(shù)嗎？

提示：不是．y＝1/x在(－∞，0)上遞減，在(0，＋∞)上也遞減，但不能說y＝1/x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上遞減．

3．函數(shù)的最值

初試身手

1．函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，其增區(qū)間是(　　)

A．[－4,4]

B．[－4，－3]∪[1,4]

C．[－3,1]

D．[－3,4]

2．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)的是(　　)

A．y＝－1x　 B．y＝x

C．y＝x2  D．y＝1－x

3．函數(shù)y＝f(x)在[－2,2]上的圖像如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是(　　)

A．－1,0  B．0,2

C．－1,2  D.12，2

4．函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3的單調(diào)減區(qū)間是________．

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函數(shù)的單調(diào)性PPT，第三部分內(nèi)容：合作探究提素養(yǎng)

定義法證明(判斷)函數(shù)的單調(diào)性

【例1】證明：函數(shù)f(x)＝x＋1x在(0,1)上是減函數(shù)．

規(guī)律方法

利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

1取值：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1＞x2.

2作差變形：作差fx1－fx2，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子.

3定號(hào)：確定fx1－fx2的符號(hào).

4結(jié)論：根據(jù)fx1－fx2的符號(hào)及定義判斷單調(diào)性.

提醒：作差變形是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，且變形的結(jié)果是幾個(gè)因式乘積的形式.

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【例2】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出該函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)．

(1)f(x)＝－1x；(2)f(x)＝2x＋1，x≥1，5－x，x<1；

(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.

規(guī)律方法

求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法

1利用已知函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

2利用函數(shù)圖像求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

提醒：1若所求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間不唯一，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間要用“，”隔開.

2理清“單調(diào)區(qū)間”和“在區(qū)間上單調(diào)”的區(qū)別與聯(lián)系.

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

[探究問題]

1．若函數(shù)f(x)是其定義域上的增函數(shù)，且f(a)>f(b)，則a，b滿足什么關(guān)系．如果函數(shù)f(x)是減函數(shù)呢？

提示：若函數(shù)f(x)是其定義域上的增函數(shù)，那么當(dāng)f(a)>f(b)時(shí)，a>b；若函數(shù)f(x)是其定義域上的減函數(shù)，那么當(dāng)f(a)>f(b)時(shí)，a<b.

2．決定二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c單調(diào)性的因素有哪些？

提示：開口方向和對(duì)稱軸的位置，即字母a的符號(hào)及－b2a的大小．

【例3】(1)若函數(shù)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在區(qū)間(－∞，3]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．

(2)已知函數(shù)y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，且f(2x－3)>f(5x－6)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為________．

規(guī)律方法

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

1函數(shù)單調(diào)性定義的“雙向性”：利用定義可以判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，反過來，若已知函數(shù)的單調(diào)性可以確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍.

2若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則此函數(shù)在這一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的任意子集上也是單調(diào)的.

課堂小結(jié)

1．定義單調(diào)性時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)x1，x2在其定義域內(nèi)的任意性，其本質(zhì)是把區(qū)間上無限多個(gè)函數(shù)值的大小比較轉(zhuǎn)化為兩個(gè)任意值的大小比較．

2．證明函數(shù)的單調(diào)性(利用定義)一定要嚴(yán)格遵循設(shè)元、作差、變形、 定號(hào)、結(jié)論的步驟,特別在變形上,一定要注意因式分解、配方等技巧的運(yùn)用，直到符號(hào)判定水到渠成才可．

3．求函數(shù)的最值與求函數(shù)的值域類似，常用的方法是：

(1)圖像法，即畫出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)寫出最值；

(2)單調(diào)性法，一般需要先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性的意義求出最值；

4．通過函數(shù)最值的學(xué)習(xí)，滲透數(shù)形結(jié)合思想，樹立以形識(shí)數(shù)的解題意識(shí)．

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函數(shù)的單調(diào)性PPT，第四部分內(nèi)容：當(dāng)堂達(dá)標(biāo)固雙基

1．思考辨析

(1)若函數(shù)y＝f(x)在定義域上有f(1)<f(2)，則函數(shù)y＝f(x)是增函數(shù)．(　　)

(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,3]上是減函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[1,3]．(　　)

(3)任何函數(shù)都有最大(小)值．(　　)

(4)函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．(　　)

2．下列函數(shù)中，在(0,2)上是增函數(shù)的是(　　)

A．y＝1x　B．y＝2x－1

C．y＝1－2x  D．y＝(2x－1)2

3．函數(shù)y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域?yàn)開_______．

4．試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f(x)＝2xx－1在(1，＋∞)上是減函數(shù)．

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