人教版八年級數(shù)學(xué)上冊《最短路徑問題》軸對稱PPT免費(fèi)課件，共37頁。
素養(yǎng)目標(biāo)
1.能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.
2.體會(huì)圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．
探究新知
利用對稱知識解決最短路徑問題
“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題.
現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史上著名的“牧馬人飲馬問題”及“造橋選址問題”.
問題1：現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離的和最短？
解：連接AB,與直線l相交于一點(diǎn)C.
根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知這個(gè)交點(diǎn)即為所求.
問題2：如果點(diǎn)A,B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，又應(yīng)該如何解決所走路徑最短的問題？
【思考】對于問題2，如何將點(diǎn)B“移”到l 的另一側(cè)B′處，滿足直線l 上的任意一點(diǎn)C，都保持CB 與CB′的長度相等？
利用軸對稱，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′.
問題3：你能用所學(xué)的知識證明AC +BC最短嗎？
證明：如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)C′(與點(diǎn)C 不重合)，連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
∴AC +BC＜AC′+BC′．
即AC +BC 最短．
利用平移知識解決造橋選址問題
如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？
【思考】我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？
1.把A平移到岸邊.
2.把B平移到岸邊.
3.把橋平移到和A相連.
4.把橋平移到和B相連.
如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋MN，此時(shí)路徑AM+MN+BN最短.
理由:另任作橋M1N1，連接AM1，BN1，A1N1.
由平移性質(zhì)可知，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1.
AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為AA1＋A1B，而AM1 +M1N1+BN1轉(zhuǎn)化為AA1＋A1N1+BN1.
在△A1N1B中，因?yàn)锳1N1+BN1＞A1B.
因此AM1 +M1N1+BN1 ＞ AM+MN+BN.
證明：由平移的性質(zhì)，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路徑長為
AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若橋的位置建在CD處，連接AC,CD,DB,CE,則A到B的路徑長為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
故橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.
解決最短路徑問題的方法
在解決最短路徑問題時(shí)，我們通常利用軸對稱、平移等變換把未知問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.
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