《對數(shù)與對數(shù)函數(shù)》指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)PPT(對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像)
第一部分內(nèi)容：課標闡釋
1.理解對數(shù)函數(shù)的概念,體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.
2.會用信息技術(shù)作對數(shù)函數(shù)的圖像.
3.通過具體實例,直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系.
4.熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì).
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對數(shù)與對數(shù)函數(shù)PPT，第二部分內(nèi)容：課前篇自主預(yù)習(xí)
一、對數(shù)函數(shù)的定義
1.指數(shù)式ab=N如何化為對數(shù)式?
提示:根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化關(guān)系可知logaN=b.
2.在logaN=b(a>0,且a≠1)這一關(guān)系式中,若把N看成自變量,b看成函數(shù)值,你能得到一個具有什么特征的函數(shù)?
提示:可以得到函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1),此類函數(shù)的特征是以真數(shù)作為自變量,對數(shù)值作為函數(shù)值.這類函數(shù)就是本節(jié)將要研究的對數(shù)函數(shù).
3.填空.
一般地,函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)稱為對數(shù)函數(shù).
二、對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1,x>0)的圖像與性質(zhì)
1.利用描點法作出函數(shù)y=log2x與函數(shù)y=log3x的圖像,進而研究一下函數(shù)y=logax(a>0,a≠1,x>0)的底數(shù)變化對圖像位置有何影響.
提示:在同一平面直角坐標系中,分別作出函數(shù)y=log2x及y=log3x的圖像,如圖所示,可以看出:底數(shù)越大,圖像越靠近x軸.同理,當(dāng)0<a<1時,底數(shù)越小,函數(shù)圖像越靠近x軸.利用這一規(guī)律,我們可以解決真數(shù)相同,對數(shù)不等時底數(shù)大小的問題.
類似地,在同一平面直角坐標系中分別作出y=logax(a>1)及y=logax(0<a<1)的圖像.如右圖所示,它們的圖像在第一象限的規(guī)律是:直線x=1把第一象限分成兩個區(qū)域,每個區(qū)域里對數(shù)函數(shù)的底數(shù)都是由左向右逐漸增大.比如,C1,C2,C3,C4分別對應(yīng)y=log_(𝑎_1 )x,y=log_(𝑎_2 )x,y=log_(𝑎_3 )x,y=log_(𝑎_4 )x,則必有a4>a3>1>a2>a1>0.
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對數(shù)與對數(shù)函數(shù)PPT，第三部分內(nèi)容：課堂篇探究學(xué)習(xí)
求對數(shù)函數(shù)的定義域
例1 (1)函數(shù)f(x)=√(x+1)+ln(4-x)的定義域為( )
A.[-1,4) B.(-1,+∞) C.(-1,4) D.(4,+∞)
(2)函數(shù)y=loga√(x"-" 1)(a>0,a≠1)的定義域為 .
反思感悟求對數(shù)函數(shù)定義域的步驟
對數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用
例2作出函數(shù)f(x)=|lo g3x|的圖像,并求出其值域、單調(diào)區(qū)間以及在區(qū)間[1/9 "," 6]上的最大值.
解:f(x)=|log3x|={■(log_3 x"," x≥1"," @"-" log_3 x"," 0<x<1"," )┤所以在[1,+∞)內(nèi)f(x)的圖像與y=log3x的圖像相同,在(0,1)內(nèi)f(x)的圖像與y=log3x的圖像關(guān)于x軸對稱,據(jù)此可畫出其圖像如圖所示.
從圖像可知,函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞),遞增區(qū)間是[1,+∞),遞減區(qū)間是(0,1).
當(dāng)x∈[1/9 "," 6]時,f(x)在[1/9 "," 1]上是單調(diào)遞減的,在(1,6]上是單調(diào)遞增的.
又f(1/9)=2,f(6)=log36<2,故f(x)在[1/9 "," 6]上的最大值為2.
反思感悟與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖像問題注意以下規(guī)律:
(1)一般地,函數(shù)y=-f(x)與y=f(x)的圖像關(guān)于x軸對稱,函數(shù)y=f(-x)與y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱,函數(shù)y=-f(-x)與y=f(x)的圖像關(guān)于原點對稱.
利用上述關(guān)系,可以快速識別一些函數(shù)的圖像.
(2)與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的一些對數(shù)型函數(shù),如y=logax+k,y=loga|x|,y=|logax+k|等,其圖像可由y=logax的圖像,通過平移變換、對稱變換或翻折變換得到.
延伸探究將以上例題中的函數(shù)改為“f(x)=|log3(x+1)|”再研究以下問題.
(1)作出函數(shù)圖像,并寫出函數(shù)的值域及單調(diào)區(qū)間;
(2)若方程f(x)=k有兩解,求實數(shù)k的取值范圍.
解:(1)函數(shù)f(x)=|log3(x+1)|的圖像如圖所示.
由圖像知,其值域為[0,+∞),f(x)在(-1,0]上是減少的,在[0,+∞)內(nèi)是增加的.
(2)由(1)的圖像知,當(dāng)k>0時,方程f(x)=k有兩解,故k的取值范圍是(0,+∞).
利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小
例3 比較大小:
(1)log0.27與log0.29;
(2)log35與log65;
(3)(lg m)1.9與(lg m)2.1(m>1);
(4)log85與lg 4.
解:(1)log0.27和log0.29可看作是函數(shù)y=log0.2x,當(dāng)x=7和x=9時對應(yīng)的兩個函數(shù)值,由y=log0.2x在(0,+∞)上是減函數(shù),得log0.27>log0.29.
(2)函數(shù)y=log3x(x>1)的圖像在函數(shù)y=log6x(x>1)的圖像的上方,故log35>log65.
(3)把lg m看作指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的底數(shù),要比較兩數(shù)的大小,關(guān)鍵是比較底數(shù)lg m與1的關(guān)系.
若lg m>1,即m>10,則y=(lg m)x在R上是增函數(shù),故(lg m)1.9<(lg m)2.1;若0<lg m<1,即1<m<10,則y=(lg m)x在R上是減函數(shù),故(lg m)1.9>(lg m)2.1;若lg m=1,即m=10,則(lg m)1.9=(lg m)2.1.
(4)因為底數(shù)8,10均大于1,且10>8,
所以log85>lg 5>lg 4,即log85>lg 4.
反思感悟1.如果兩個對數(shù)的底數(shù)相同,則由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性(當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時,函數(shù)為增函數(shù);當(dāng)?shù)讛?shù)0<a<1時,函數(shù)為減函數(shù))比較.
2.如果兩個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同,那么通常引入中間值進行比較.
3.如果兩個對數(shù)的底數(shù)不同而真數(shù)相同,如y1=log_(a_1 )x與y2=log_(a_2 )x的大小比較(a1>0,a1≠1,a2>0,a2≠1),
(1)當(dāng)a1>a2>1時,根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖像的變化規(guī)律知當(dāng)x>1時,y1<y2;當(dāng)0<x<1時,y1>y2.
(2)當(dāng)0<a2<a1<1時,根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖像的變化規(guī)律知當(dāng)x>1時,y1<y2;當(dāng)0<x<1時,y1>y2.
對于含有參數(shù)的兩個對數(shù)值的大小比較,要注意根據(jù)對數(shù)的底數(shù)是否大于1進行分類討論.
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對數(shù)與對數(shù)函數(shù)PPT，第四部分內(nèi)容：思維辨析
因忽視真數(shù)的取值范圍而致誤
典例 解不等式loga(2x-5)>loga(x-1).
錯解一由2x-5>x-1,得x>4,故原不等式的解集為{x|x>4}.
錯解二由{■(2x"-" 5>0"," @x"-" 1>0"," @2x"-" 5>x"-" 1"," )┤
解得x>4,故原不等式的解集為{x|x>4}.
錯解三原不等式可等價變形為{■(2x"-" 5>0"," @x"-" 1>0"," @2x"-" 5>x"-" 1"," )┤
解得x>4.
所以當(dāng)a>1時,原不等式的解集為{x|x>4};
當(dāng)0<a<1時,原不等式的解集為{x├|5/2<x<4}┤.
以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何訂正?你怎么防范?
提示:錯解一中沒考慮真數(shù)的取值范圍,也沒有對a進行分類討論;錯解二中沒有對a進行分類討論;錯解三中出現(xiàn)邏輯性錯誤,運算變形的順序出現(xiàn)了問題,即開始默認了a>1對原不等式進行了轉(zhuǎn)化是不正確的,雖然后來對a又進行了討論,看起來結(jié)果正確,而實際上解答過程是錯誤的.
防范措施1.在解決含有對數(shù)式的方程或不等式時,一定要注意底數(shù)及真數(shù)的限制條件,一般要有檢驗的意識.
2.當(dāng)對數(shù)的底數(shù)含參數(shù)時,不能直接化簡原式,需要對參數(shù)進行分類討論,做到不重復(fù)、不遺漏.
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對數(shù)與對數(shù)函數(shù)PPT，第五部分內(nèi)容：當(dāng)堂檢測
1.設(shè)0<x<1,且有l(wèi)ogax<logbx<0,則a,b的大小關(guān)系是 ( )
A.0<a<b<1 B.1<a<b
C.0<b<a<1 D.1<b<a
答案:B
解析:結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)可知b>a>1.
2.方程log2(x+2)=x2的實數(shù)解有( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
答案:C
解析:在同一平面直角坐標系中分別畫出y=log2(x+2)與y=x2的圖像,如圖所示.由圖像觀察知,二者有兩個交點,所以方程log2(x+2)=x2有兩個解.
3.函數(shù)f(x)=log2(3x2-2x-1)的單調(diào)增區(qū)間為_________.
答案:(1,+∞)
解析:由3x2-2x-1>0,得x<-1/3或x>1,
即f(x)的定義域為("-∞,-" 1/3)∪(1,+∞).
令u(x)=3x2-2x-1=3(x"-" 1/3)^2-4/3,其函數(shù)圖像的對稱軸為x=1/3,
所以[1/3 "," +"∞" )是u(x)的單調(diào)增區(qū)間.
結(jié)合函數(shù)的定義域可知,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞).
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