《確定二次函數(shù)的表達(dá)式》PPT課件2
用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
一、一般式:y=ax²+bx+c (a,b,c為常數(shù),a ≠0)
求二次函數(shù)y=ax²+bx+c的解析式,關(guān)鍵是求出待定系數(shù)a,b,c的值。
由已知條件(如二次函數(shù)圖像上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo))列出關(guān)于a,b,c的方程組,并求出a,b,c,就可以寫出二次函數(shù)的解析式。
二、頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)²+k(a、h、k為常數(shù)a≠0).
1.若已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線上的另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),通過設(shè)函數(shù)的解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)²+k.
2.特別地,當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)是,h=0,k=0,可設(shè)函數(shù)的解析式為y=ax².
3.當(dāng)拋物線的對稱軸為y軸時(shí),h=0,可設(shè)函數(shù)的解析式為y=ax²+k.
4.當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在x軸上時(shí),k=0,可設(shè)函數(shù)的解析式為y=a(x-h)².
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三、交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).(a、x1、x2為常數(shù)a≠0)
當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為(x1,0),(x2,0)時(shí),二次函數(shù)y=ax2+bx+c可以轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).因此當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為(x1,0),(x2,0)時(shí),可設(shè)函數(shù)的解析式為y=a(x-x1)(x-x2),在把另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入其中,即可解得a,求出拋物線的解析式。
交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2). x1和x2分別是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,則直線x=x1+x2/2就是拋物線的對稱軸.
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一、 求二次函數(shù)的解析式的一般步驟:
一設(shè)、二列、三解、四還原.
二、二次函數(shù)常用的幾種解析式的確定
1、一般式
已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo),通常選擇一般式。
2、頂點(diǎn)式
已知拋物線上頂點(diǎn)坐標(biāo)(對稱軸或最值),通常選擇頂點(diǎn)式。
3、交點(diǎn)式
已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),選擇交點(diǎn)式。
4、平移式
將拋物線平移,函數(shù)解析式中發(fā)生變化的只有頂點(diǎn)坐標(biāo),可將原函數(shù)先化為頂點(diǎn)式,再根據(jù)“左加右減,上加下減”的法則,即可得出所求新函數(shù)的解析式。
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活學(xué)活用 加深理解
1.某拋物線是將拋物線y=ax2 向右平移一個(gè)單位長度,再向上平移一個(gè)單位長度得到的,且拋物線過點(diǎn)(3,-3),求該拋物線表達(dá)式。
頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,1)設(shè) y=a(x-1)2+1
2.已知二次函數(shù)的對稱軸是直線x=1,圖像上最低點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-8,圖像還過點(diǎn)(-2,10),求此函數(shù)的表達(dá)式。
頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,-8)設(shè)y=a(x-1)2-8
3.已知二次函數(shù)的圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4,且當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)有最小值-4,求此表達(dá)式。
頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,-4)設(shè)y=a(x-1)2-4
4.某拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,6,且函數(shù)的最大值為2,求函數(shù)的表達(dá)式。
頂點(diǎn)坐標(biāo)(4,2)設(shè)y=a(x-4)2+2
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做一做
選擇最優(yōu)解法,求下列二次函數(shù)解析式:
1、已知拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,4)、(-1,-1)、(2,-2),設(shè)拋物線解析式為________.
2、已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(-2,3),且經(jīng)過點(diǎn)(1,4) ,設(shè)拋物線解析式為___________.
3、已知二次函數(shù)有最大值6,且經(jīng)過點(diǎn)(2, 3),(-4,5),設(shè)拋物線解析式為________.
4、已知拋物線的對稱軸是直線x=-2,且經(jīng)過點(diǎn)(1,3),(5,6),設(shè)拋物線解析式為_______.
5、已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)、B(1,0),且經(jīng)過點(diǎn)(2,-3),設(shè)拋物線解析式為______.
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題組訓(xùn)練
1、已知二次函數(shù)的最大值是2,圖象頂點(diǎn)在直線y=x+1上,并且圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,-6),求二次函數(shù)的解析式.
2、已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,與軸交于點(diǎn),求這條拋物線的解析式。
3、已知拋物線過A(-2,0)、B(1,0)、C(0,2)三點(diǎn)。求這條拋物線的解析式。
4、根據(jù)下列條件,求二次函數(shù)的解析式。
(1)、圖象經(jīng)過(0,0),(1,-2),(2,3) 三點(diǎn);
(2)、圖象的頂點(diǎn)(2,3),且經(jīng)過點(diǎn)(3,1) ;
(3)、圖象經(jīng)過(-1,0),(3,0),(0, 3)。
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〔議一議〕
通過上述問題的解決,您能體會到求二次函數(shù)表達(dá)式采用的一般方法是什么?
你能否總結(jié)出上述解題的一般步驟?
1.若無坐標(biāo)系,首先應(yīng)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系;
2.設(shè)拋物線的表達(dá)式;
3.寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);
4.列方程(或方程組);
5.解方程或方程組,求待定系數(shù);
6.寫出函數(shù)的表達(dá)式;
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