《二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》一元二次函數(shù)、方程和不等式PPT
第一部分內(nèi)容：課標(biāo)闡釋
1.了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義.
2.能夠借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.借助一元二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.
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二次函數(shù)與一元二次方程不等式PPT，第二部分內(nèi)容：自主預(yù)習(xí)
一、一元二次不等式的概念
1.從未知數(shù)的個數(shù)以及未知數(shù)的最高次數(shù)看,不等式x2-2x-3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特點?
提示:它們只含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.
2.填空
一元二次不等式的概念及形式
(1)概念:我們把只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式,稱為一元二次不等式.
(2)形式:
①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
(3)解集:一般地,使某個一元二次不等式成立的x的值叫做這個不等式的解,一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集.
3.做一做
已知下列不等式:①ax2+2x+1>0;②x2-y>0;③-x2-3x<0;④ >0.其中是一元二次不等式的個數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①中當(dāng)a=0時,它不是一元二次不等式;②中有兩個未知數(shù),它不是一元二次不等式;③是一元二次不等式;④是分式不等式.
答案:A
二、一元二次不等式的解法
1.(1)什么叫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點?零點是點嗎?
提示:把使ax2+bx+c=0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點.零點不是點,是一個實數(shù).零點就是函數(shù)對應(yīng)方程的根.
(2)二次函數(shù)y=x2-5x的圖象如圖所示.
當(dāng)x為何值時,y=0?當(dāng)x為何值時,y<0?當(dāng)x為何值時,y>0.
上述各種情況下函數(shù)圖象與x軸有什么關(guān)系?
提示:當(dāng)x=0或x=5時,y=0.此時圖象與x軸交于兩個點(0,0)和(5,0);
當(dāng)0<x<5時,y<0,函數(shù)圖象位于x軸下方,此時x2-5x<0;
當(dāng)x<0或x>5時,y>0.此時函數(shù)圖象位于x軸上方,此時x2-5x>0.
(3)對任意的一元二次不等式,求解集的關(guān)鍵點有哪些?
提示:①拋物線y=ax2+bx+c與x軸的位置情況,也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況;②拋物線y=ax2+bx+c的開口方向,也就是a的正負(fù).
(4)拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸的相關(guān)位置有哪些情況?如何用一元二次方程來說明這些位置關(guān)系?
提示:拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸可能有兩個交點(相交),一個交點(相切),沒有交點(相離).可以通過對應(yīng)一元二次方程的判別式Δ與0的關(guān)系來判斷.
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二次函數(shù)與一元二次方程不等式PPT，第三部分內(nèi)容：探究學(xué)習(xí)
一元二次不等式的求解
例1解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
分析:先求出對應(yīng)一元二次方程的解,再結(jié)合對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象寫出不等式的解集.
解:(1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-1/2,x2=2.
因為對應(yīng)函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線,
所以原不等式的解集是{x├|x<"-" 1/2 "或" x>2}┤.
(2)不等式可化為3x2-6x+2<0.
因為3x2-6x+2=0的判別式Δ=36-4×3×2=12>0,所以方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-√3/3,x2=1+√3/3.
因為函數(shù)y=3x2-6x+2的圖象是開口向上的拋物線,所以原不等式的解集是{x├|1"-" √3/3<x<1+√3/3}┤.
(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=1/2,函數(shù)y=4x2-4x+1的圖象是開口向上的拋物線,所以原不等式的解集是{x├|x=1/2}┤.
(4)因為x2-2x+2=0的判別式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0無解.又因為函數(shù)y=x2-2x+2的圖象是開口向上的拋物線,所以原不等式的解集為R.
反思感悟 解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟
(1)化標(biāo)準(zhǔn).通過對不等式的變形,使不等式的右側(cè)為0,使二次項系數(shù)為正.
(2)判別式.對不等式的左側(cè)進行因式分解,若不能分解,則計算對應(yīng)方程的判別式.
(3)求實根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程無實根.
(4)畫草圖.根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.
(5)寫解集.根據(jù)圖象寫出不等式的解集.
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二次函數(shù)與一元二次方程不等式PPT，第四部分內(nèi)容：思維辨析
求不等式恒成立問題中參數(shù)范圍的常見方法
1.利用一元二次方程根的判別式解一元二次不等式在R上的恒成立問題.
設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則
f(x)>0恒成立⇔{■(a>0"," @Δ<0"," )┤f(x)≥0恒成立⇔{■(a>0"," @Δ≤0"," )┤
f(x)<0恒成立⇔{■(a<0"," @Δ<0"," )┤f(x)≤0恒成立⇔{■(a<0"," @Δ≤0"." )┤
當(dāng)未說明不等式為一元二次不等式時,有
(1)不等式ax2+bx+c>0對任意實數(shù)x恒成立⇔{■(a=b=0"," @c>0)┤或{■(a>0"," @Δ<0";" )┤
(2)不等式ax2+bx+c<0對任意實數(shù)x恒成立⇔{■(a=b=0"," @c<0)┤或{■(a<0"," @Δ<0"." )┤
2.分離自變量和參變量,利用等價轉(zhuǎn)化思想將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.
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二次函數(shù)與一元二次方程不等式PPT，第五部分內(nèi)容：隨堂演練
1.不等式x2-9<0的解集為( )
A.{x|x<-3} B.{x|x<3}
C.{x|x<-3或x>3} D.{x|-3<x<3}
解析:由x2-9<0,可得x2<9,解得-3<x<3.
答案:D
2.若不等式4x2+ax+4>0的解集為R,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-16,0) B.(-16,0]
C.(-∞,0) D.(-8,8)
解析:不等式4x2+ax+4>0的解集為R,∴Δ=a2-4×4×4<0,解得-8<a<8,∴實數(shù)a的取值范圍是(-8,8),故選D.
答案:D
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