《三角恒等變換》三角函數(shù)PPT課件(第5課時簡單的三角恒等變換)
第一部分內容：學 習 目 標
1.能用二倍角公式導出半角公式，能用兩角和與差的三角函數(shù)公式導出積化和差、和差化積公式．體會其中的三角恒等變換的基本思想方法，以及進行簡單的應用．(重點)
2.了解三角恒等變換的特點、變換技巧，掌握三角恒等變換的基本思想方法，能利用三角恒等變換對三角函數(shù)式化簡、求值以及三角恒等式的證明和一些簡單的應用．(難點、易錯點)
核 心 素 養(yǎng)
1.通過公式的推導，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).
2.借助三角恒等變換的簡單應用，提升數(shù)學運算素養(yǎng).
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三角恒等變換PPT，第二部分內容：自主預習探新知
半角公式
(1)sinα2＝± 1－cos α2，
(2)cosα2＝± 1＋cos α2，
(3)tanα2＝± 1－cos α1＋cos α，
(4)tanα2＝sin α2cosα2＝sinα2•2cosα2cosα2•2cosα2＝sin α1＋cos α，
tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2•2sinα2cosα2•2sinα2＝1－cos αsin α.
初試身手
1．已知180°＜α＜360°，則cosα2的值等于( )
A．－1－cos α2 B.1－cos α2
C．－1＋cos α2 D.1＋cos α2
2．已知cos α＝35，α∈3π2，2π，則sin α2等于( )
A.55 B．－55
C.45 D.255
3．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－35，cos θ＜0，則tanθ2的值等于________．
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三角恒等變換PPT，第三部分內容：合作探究提素養(yǎng)
化簡求值問題
【例1】(1)設5π＜θ＜6π，cosθ2＝a，則sinθ4等于( )
A.1＋a2 B.1－a2
C．－1＋a2 D．－1－a2
(2)已知π<α<3π2，化簡：
1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.
[思路點撥] (1)先確定θ4的范圍，再由sin2θ4＝1－cosθ22得算式求值．
(2)1＋cos θ＝2cos2α2，1－cos α＝2sin2α2，去根號，確定α2的范圍，化簡．
規(guī)律方法
1.化簡問題中的“三變”
(1)變角：三角變換時通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式．
(2)變名：觀察三角函數(shù)種類的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱，如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切．
(3)變式：觀察式子的結構形式的差異，選擇適當?shù)淖冃瓮緩�，如升冪、降冪、配方、開方等．
2．利用半角公式求值的思路
(1)看角：看已知角與待求角的2倍關系．
(2)明范圍：求出相應半角的范圍為定符號作準備．
(3)選公式：涉及半角公式的正切值時，常用tanα2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，涉及半角公式的正、余弦值時，常利用sin2α2＝1－cos α2，cos2α2＝1＋cos α2計算．
(4)下結論：結合(2)求值．
提醒：已知cos α的值可求α2的正弦、余弦、正切值，要注意確定其符號．
三角恒等式的證明
【例2】求證：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin 2α.
[思路點撥] 法一：切化弦用二倍角公式由左到右證明；
法二：cos2α不變，直接用二倍角正切公式變形．
規(guī)律方法
三角恒等式證明的常用方法
1執(zhí)因索果法：證明的形式一般化繁為簡；
2左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個式子；
3拼湊法：針對題設和結論之間的差異，有針對性地變形，以消除它們之間的差異，簡言之，即化異求同；
4比較法：設法證明“左邊－右邊＝0”或“左邊/右邊＝1”；
5分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事實為止，就可以斷定原等式成立.
三角函數(shù)在實際問題中的應用
[探究問題]
1．用三角函數(shù)解決實際問題時，通常選什么作為自變量？求定義域時應注意什么？
提示：通常選角作為自變量，求定義域時要注意實際意義和正弦、余弦函數(shù)有界性的影響．
2．建立三角函數(shù)模型后，通常要將函數(shù)解析式化為何種形式？
提示：化成y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．
規(guī)律方法
應用三角函數(shù)解實際問題的方法及注意事項
1方法：解答此類問題，關鍵是合理引入輔助角，確定各量之間的關系，將實際問題轉化為三角函數(shù)問題，再利用三角函數(shù)的有關知識求解.
2注意：在求解過程中，要注意三點：①充分借助平面幾何性質，尋找數(shù)量關系.②注意實際問題中變量的范圍.③重視三角函數(shù)有界性的影響.
提醒：在利用三角變換解決實際問題時，常因忽視角的范圍而致誤.
課堂小結
1．學習三角恒等變換，千萬不要只顧死記硬背公式，而忽視對思想方法的理解，要學會借助前面幾個有限的公式來推導后繼公式，立足于在公式推導過程中記憶公式和運用公式．
2．研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函數(shù)性質，都要運用輔助角公式化為一個整體角的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的形式．因此輔助角公式是三角函數(shù)中應用較為廣泛的一個重要公式，也是高考常考的考點之一．對一些特殊的系數(shù)a、b應熟練掌握．例如sin x±cos x＝2sinx±π4；sin x±3cos x＝2sinx±π3等.
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三角恒等變換PPT，第四部分內容：當堂達標固雙基
1．思考辨析
(1)cos α2＝1＋cos α2.( )
(2)存在α∈R，使得cos α2＝12cos α.( )
(3)對于任意α∈R，sin α2＝12sin α都不成立．( )
(4)若α是第一象限角，則tan α2＝1－cos α1＋cos α.( )
2．若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是減函數(shù)，則a的最大值是( )
A.π4 B.π2
C.3π4 D．π
3．函數(shù)f(x)＝sin2x的最小正周期為________．
4．北京召開的國際數(shù)學家大會，會標是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成一個大正方形(如圖所示)．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，求cos 2θ.
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