《函數(shù)的應(yīng)用》《數(shù)學(xué)建模活動(dòng):決定蘋(píng)果的最佳出售時(shí)間點(diǎn)》函數(shù)PPT
第一部分內(nèi)容：課標(biāo)闡釋
1.會(huì)利用所學(xué)知識(shí),解決一次函數(shù)型、二次函數(shù)型及分段函數(shù)型的實(shí)際問(wèn)題.
2.掌握求解函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).
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第二部分內(nèi)容：自主預(yù)習(xí)
知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)模型
1.思考
(1)在函數(shù)建模中,怎樣確立兩個(gè)變量是哪種函數(shù)關(guān)系?
提示:通常需要先畫(huà)出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像來(lái)確定兩個(gè)變量的關(guān)系,選擇函數(shù)類(lèi)型.
(2)函數(shù)模型在實(shí)際應(yīng)用中,函數(shù)的自變量有什么特點(diǎn)?
提示:在實(shí)際應(yīng)用中,函數(shù)的自變量x往往具有實(shí)際意義,如x表示長(zhǎng)度時(shí),x≥0;x表示件數(shù)時(shí),x≥0,且x∈Z等.在解答時(shí),必須要考慮這些實(shí)際意義.
(3)已知某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)為12元/個(gè)的小商品,在4天的試銷(xiāo)中,對(duì)此商品的銷(xiāo)售單價(jià)x(元)與相應(yīng)的日銷(xiāo)售量y(個(gè))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),其數(shù)據(jù)如下表:
你能否找到一種函數(shù),使它反映y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系?若能,寫(xiě)出函數(shù)解析式.
提示:觀(guān)察x,y的數(shù)據(jù),可大體看到y(tǒng)與x是一次函數(shù)關(guān)系,
令y=kx+b(k≠0).
因?yàn)楫?dāng)x=16時(shí),y=42,當(dāng)x=20時(shí),y=30,
代入得{■(42=16k+b"," @30=20k+b"," )┤解得{■(k="-" 3"," @b=90"." )┤
即y=-3x+90.
顯然當(dāng)x=24時(shí),y=18;當(dāng)x=28時(shí),y=6.
對(duì)照數(shù)據(jù),可以看出y=-3x+90即為所求的函數(shù)解析式.
考慮到x的實(shí)際意義及y的取整性,所以y=-3x+90,x∈{1,2,3,…,30}.
2.填空
(1)一次函數(shù)模型
解析式:y=kx+b(k≠0).
(2)二次函數(shù)模型
①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);
②頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k).
(3)分段函數(shù)模型
有些實(shí)際問(wèn)題,在事物的某個(gè)階段對(duì)應(yīng)的變化規(guī)律不盡相同,此時(shí)我們可以選擇利用分段函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)它,由于分段函數(shù)在不同的區(qū)間中具有不同的解析式,因此分段函數(shù)在研究條件變化的實(shí)際問(wèn)題中,或者在某一特定條件下的實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用.
歸納提高1.在求其解析式時(shí),應(yīng)先確定分“段”,即函數(shù)分成幾段,并抓住“分界點(diǎn)”,確保分界點(diǎn)“不重,不漏”.
2.在求函數(shù)值時(shí),先確定自變量的值所屬的區(qū)間,再代入;同樣,已知函數(shù)值,求解自變量的值時(shí),就是解方程的過(guò)程,即每段都令y取已知函數(shù)值,解出相應(yīng)x的值,再判斷是否屬于所在區(qū)間.
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第三部分內(nèi)容：探究學(xué)習(xí)
一次函數(shù)模型的應(yīng)用
例1 (1)某廠(chǎng)日生產(chǎn)文具盒的總成本y(元)與日產(chǎn)量x(套)之間的關(guān)系為y=6x+30 000.而出廠(chǎng)價(jià)格為每套12元,要使該廠(chǎng)不虧本,至少日生產(chǎn)文具盒( )
A.2 000套 B.3 000套
C.4 000套 D.5 000套
(2)商店出售茶壺和茶杯,茶壺定價(jià)為每個(gè)20元,茶杯每個(gè)5元,該商店推出兩種優(yōu)惠辦法:
①買(mǎi)一個(gè)茶壺贈(zèng)一個(gè)茶杯;
②按總價(jià)的92%付款.
某顧客需購(gòu)買(mǎi)茶壺4個(gè),茶杯若干個(gè)(不少于4個(gè)),若購(gòu)買(mǎi)茶杯x(個(gè)),付款y(元),分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數(shù)解析式,并討論該顧客買(mǎi)同樣多的茶杯時(shí),兩種辦法哪一種更優(yōu)惠?
(1)解析:因利潤(rùn)z=12x-(6x+30 000),所以z=6x-30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生產(chǎn)文具盒5 000套.
答案:D
(2)解:由優(yōu)惠辦法①可得函數(shù)解析式為y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).
由優(yōu)惠辦法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).
y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),
令y1-y2=0,得x=34.
所以,當(dāng)購(gòu)買(mǎi)34個(gè)茶杯時(shí),兩種辦法付款相同;
當(dāng)4≤x<34時(shí),y1<y2,即優(yōu)惠辦法①更省錢(qián);
當(dāng)x>34時(shí),y1>y2,優(yōu)惠辦法②更省錢(qián).
反思感悟1.一次函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用:
一次函數(shù)模型應(yīng)用時(shí),本著“問(wèn)什么,設(shè)什么,列什么”這一原則.
2.一次函數(shù)的最值求解:
一次函數(shù)求最值,常轉(zhuǎn)化為求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答時(shí),注意系數(shù)a的正負(fù),也可以結(jié)合函數(shù)圖像或其單調(diào)性來(lái)求最值.
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第四部分內(nèi)容：思維辨析
因忽視實(shí)際問(wèn)題中x的范圍而致誤
典例 如圖所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(a>b),在A(yíng)B,AD,CB,CD上分別截取AE=AH=CF=CG=x(x>0),設(shè)四邊形EFGH的面積為y.
(1)寫(xiě)出四邊形EFGH的面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求當(dāng)x為何值時(shí),y取得最大值,最大值是多少?
以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何訂正?你怎么防范?
提示:錯(cuò)解過(guò)程中一是沒(méi)注意實(shí)際問(wèn)題中x的取值范圍,二是求函數(shù)最值時(shí)沒(méi)有討論對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系,但從根本上錯(cuò)誤的根源是第(1)問(wèn)中沒(méi)有明確定義域.
防范措施1.對(duì)實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)解析式一定要注意自變量x要受實(shí)際問(wèn)題的約束,養(yǎng)成遇到實(shí)際問(wèn)題“定義域優(yōu)先”的習(xí)慣.
2.有時(shí)一個(gè)小細(xì)節(jié)的失誤,會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重錯(cuò)誤的產(chǎn)生.因此解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),要充分考慮問(wèn)題的背景、實(shí)際意義、隱含條件等.
變式訓(xùn)練某企業(yè)實(shí)行裁員增效.已知現(xiàn)有員工a人,每人每年可創(chuàng)純收益(已扣工資等)1萬(wàn)元,據(jù)評(píng)估,在生產(chǎn)條件不變的條件下,每裁員一人,則留崗人員每人每年可多創(chuàng)收0.01萬(wàn)元,但每年需付給每位下崗工人0.4萬(wàn)元生活費(fèi),并且企業(yè)正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有員工的 ,設(shè)該企業(yè)裁員x人后年純收益為y萬(wàn)元.
(1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并指出x的取值范圍;
(2)當(dāng)140<a≤280時(shí),該企業(yè)應(yīng)裁員多少人,才能獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益?(注:在保證能取得最大經(jīng)濟(jì)效益的情況下,能少裁員,應(yīng)盡量少裁)
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第五部分內(nèi)容：當(dāng)堂檢測(cè)
1.一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是20,則底邊長(zhǎng)y是關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù),其解析式為( )
A.y=20-2x(x≤10) B.y=20-2x(x<10)
C.y=20-2x(5≤x≤10) D.y=20-2x(5<x<10)
答案:D
2.某生產(chǎn)廠(chǎng)家的生產(chǎn)總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(件)之間的關(guān)系式為y=x2-80x,若每件產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元,則該廠(chǎng)獲得最大利潤(rùn)時(shí),生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為( )
A.52 B.52.5 C.53 D.52或53
解析:因?yàn)槔麧?rùn)=收入-成本,當(dāng)產(chǎn)量為x件時(shí)(x∈N),利潤(rùn)f(x)=25x-(x2-80x),
3.某商店進(jìn)貨單價(jià)為45元,若按50元一個(gè)銷(xiāo)售,能賣(mài)出50個(gè);若銷(xiāo)售單價(jià)每漲1元,其銷(xiāo)售量就減少2個(gè),為了獲得最大利潤(rùn),此商品的最佳售價(jià)應(yīng)為每個(gè)_________元.
解析:設(shè)漲價(jià)x元,銷(xiāo)售的利潤(rùn)為y元,
則y=(50+x-45)(50-2x)=-2x2+40x+250=-2(x-10)2+450,
所以當(dāng)x=10,即銷(xiāo)售價(jià)為60元時(shí),y取得最大值.
答案:60
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