《三角恒等變換》三角函數(shù)PPT課件(第2課時兩角和與差的正弦、余弦公式)
第一部分內(nèi)容:學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
1.掌握兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦公式.
2.會用兩角和與差的正弦、余弦公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)的求值、化簡、計算等.
3.熟悉兩角和與差的正弦、余弦公式的靈活運(yùn)用,了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法.
核 心 素 養(yǎng)
1.借助公式的推導(dǎo)過程,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
2. 通過公式的靈活運(yùn)用,提升邏輯推理素養(yǎng).
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三角恒等變換PPT,第二部分內(nèi)容:自主預(yù)習(xí)探新知
新知初探
1.兩角和與差的余弦公式
名稱 簡記符號 公式 使用條件
兩角差的余弦公式C(α-β) cos(α-β)=______ α,β∈R
兩角和的余弦公式C(α+β) cos(α+β)=______ α,β∈R
2.兩角和與差的正弦公式
3.重要結(jié)論-輔助角公式
y=asin x+bcos x=_________sin(x+θ)(a,b不同時為0),其中cos θ=________,sin θ=___________.
初試身手
1.cos 57°cos 3°-sin 57°sin 3°的值為( )
A.0 B.12
C.32 D.cos 54°
2.sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°的值是( )
A.-32
B.-12
C.12
D.32
3.若cos α=-35,α是第三象限的角,則sinα-π4=______.
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三角恒等變換PPT,第三部分內(nèi)容:合作探究提素養(yǎng)
給角求值問題
【例1】(1)cos 70°sin 50°-cos 200°sin 40°的值為( )
A.-32 B.-12 C.12 D.32
(2)若θ是第二象限角且sin θ=513,則cos(θ+60°)=________.
(3)求值:(tan 10°-3)cos 10°sin 50°.
規(guī)律方法
解決給角求值問題的策略
(1)對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題,一定要本著先整體后局部的基本原則,如果整體符合三角公式的形式,則整體變形,否則進(jìn)行各局部的變形.
(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式,化為正負(fù)相消的項并消項求值,化分子、分母形式進(jìn)行約分,解題時要逆用或變用公式.
提醒:在逆用兩角的和與差的正弦和余弦公式時,首先要注意結(jié)構(gòu)是否符合公式特點(diǎn),其次注意角是否滿足要求.
跟蹤訓(xùn)練
1.化簡求值:
(1)sin 50°-sin 20°cos 30°cos 20°;
(2)sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-3cos(θ+15°).
給值求值、求角問題
【例2】(1)已知P,Q是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的單位圓上的兩點(diǎn),且分別位于第一象限和第四象限,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為45,點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為513,則cos∠POQ=________.
(2)已知cos α=55,sin(α-β)=1010,且α,β∈0,π2.求:①cos(2α-β)的值;②β的值.
[思路點(diǎn)撥] (1)先由任意角三角函數(shù)的定義求∠xOP和∠xOQ的正弦、余弦值,再依據(jù)∠POQ=∠xOP+∠xOQ及兩角和的余弦公式求值.
(2)先求sin α,cos(α-β),依據(jù)2α-β=α+(α-β)求cos(2α-β).依據(jù)β=α-(α-β)求cos β再求β.
規(guī)律方法
給值求值問題的解題策略
在解決此類題目時,一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系,恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用拆角、拼角技巧,同時分析角之間的關(guān)系,利用角的代換化異角為同角,具體做法是:
1當(dāng)條件中有兩角時,一般把“所求角”表示為已知兩角的和或差.
2當(dāng)已知角有一個時,可利用誘導(dǎo)公式把所求角轉(zhuǎn)化為已知角.
課堂小結(jié)
1.兩角和與差公式可以看成是誘導(dǎo)公式的推廣,誘導(dǎo)公式可以看成兩角和差公式的特例,例如:sin3π2-α=sin3π2•cos α-cos3π2sin α=-cos α.
2.使用和差公式時不僅要會正用,還要能夠逆用公式,如化簡sin βcos(α+β)-cos βsin(α+β)時,不要將cos(α+β)和sin(α+β)展開,而應(yīng)采用整體思想,作如下變形:
sin βcos(α+β)-cos βsin(α+β)=sin[β-(α+β)]=sin(-α)=-sin α.
3.運(yùn)用和差公式求值、化簡、證明時要注意靈活進(jìn)行三角變換,有效地溝通條件中的角與問題結(jié)論中的角之間的聯(lián)系,選用恰當(dāng)?shù)墓娇旖萸蠼猓?/p>
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三角恒等變換PPT,第四部分內(nèi)容:當(dāng)堂達(dá)標(biāo)固雙基
1.思考辨析
(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.( )
(2)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立.( )
(3)對于任意α,β∈R,sin(α+β)=sin α+sin β都不成立.( )
(4)sin 54°cos 24°-sin 36°sin 24°=sin 30°.( )
[提示] (1)正確.根據(jù)公式的推導(dǎo)過程可得.
(2)正確.當(dāng)α=45°,β=0°時,sin(α-β)=sin α-sin β.
(3)錯誤.當(dāng)α=30°,β=-30°時,sin(α+β)=sin α+sin β成立.
(4)正確.因為sin 54°cos 24°-sin 36°sin 24°
=sin 54°cos 24°-cos 54°sin 24°=sin(54°-24°)
2.化簡2cos x-6sin x等于( )
A.22sinπ6+x
B.22cosπ6-x
C.22sinπ3-x
D.22cosπ3+x
3.cos βcos(α-β)-sin βsin(α-β)=________.
4.已知α,β均為銳角,sin α=55,cos β=1010,求α-β.
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