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《三角恒等變換》三角函數(shù)PPT課件(第4課時二倍角的正弦、余弦、正切公式)

《三角恒等變換》三角函數(shù)PPT課件(第4課時二倍角的正弦、余弦、正切公式) 詳細介紹:

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《三角恒等變換》三角函數(shù)PPT課件(第4課時二倍角的正弦、余弦、正切公式)

 

第一部分內(nèi)容:學 習 目 標

1.能利用兩角和的正、余弦、正切公式推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重點)

2.能利用二倍角公式進行化簡、求值、證明.(難點)

3.熟悉二倍角公式的常見變形,并能靈活應用.(易錯點)

核 心 素 養(yǎng)

1.通過公式的推導,培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).

2.借助運算求值,提升數(shù)學運算素養(yǎng).

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三角恒等變換PPT,第二部分內(nèi)容:自主預習探新知

新知初探

1.二倍角的正弦、余弦、正切公式

記法 公式

S2α sin 2α=

C2α cos 2α=

T2α tan 2α=___________

2.余弦的二倍角公式的變形

3.正弦的二倍角公式的變形

(1)sin αcos α=12sin 2α,cos α=_________.

(2)1±sin 2α=_________.

初試身手

1.下列各式中,值為32的是(  )

A.2sin 15°cos 15°

B.cos215°-sin215°

C.2sin215° 

D.sin215°+cos215°

2.sin 15°cos 15°=________.

3.12-cos2π8=________.

4.若tan θ=2則tan 2θ=________.

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三角恒等變換PPT,第三部分內(nèi)容:合作探究提素養(yǎng)

給角求值

【例1】 (1)cosπ7cos3π7cos5π7的值為(  )

A.14   B.-14

C.18  D.-18

(2)求下列各式的值:

①cos415°-sin415°;②1-2sin275°;③1-tan275°tan 75°;

④1sin 10°-3cos 10°.

規(guī)律方法

對于給角求值問題,一般有兩類:

1直接正用、逆用二倍角公式,結(jié)合誘導公式和同角三角函數(shù)的基本關系對已知式子進行轉(zhuǎn)化,一般可以化為特殊角.

2若形式為幾個非特殊角的三角函數(shù)式相乘,則一般逆用二倍角的正弦公式,在求解過程中,需利用互余關系配湊出應用二倍角公式的條件,使得問題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式.

給值求值、求角問題

【例2】(1)已知cosα+π4=35,π2≤α<3π2,求cos2α+π4的值;

(2)已知α∈-π2,π2,且sin 2α=sinα-π4,求α.

[思路點撥]依據(jù)以下角的關系設計解題思路求解:

(1)α+π4與2α+π2,α-π4與2α-π2具有2倍關系,用二倍角公式聯(lián)系;

(2)2α+π2與2α差π2,用誘導公式聯(lián)系.

規(guī)律方法

解決條件求值問題的方法

1有方向地將已知式或未知式化簡,使關系明朗化;尋找角之間的關系,看是否適合相關公式的使用,注意常見角的變換和角之間的二倍關系.

2當遇到fπ4±x這樣的角時可利用互余角的關系和誘導公式,將條件與結(jié)論溝通.

cos 2x=sinπ2-2x=2sinπ4-xcosπ4-x.

化簡證明問題

[探究問題]

1.解答化簡證明問題時,如果遇到既有“切”,又有“弦”的情況,通常要如何處理?

提示:通常要切化弦后再進行變形.

2.證明三角恒等式時,通常的證明方向是什么?

提示:由復雜一側(cè)向簡單一側(cè)推導.

規(guī)律方法

證明三角恒等式的原則與步驟

1觀察恒等式兩端的結(jié)構形式,處理原則是從復雜到簡單,高次降低,復角化單角,如果兩端都比較復雜,就將兩端都化簡,即采用“兩頭湊”的思想.

2證明恒等式的一般步驟:

①先觀察,找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構等方面的差異;

②本著“復角化單角”“異名化同名”“變換式子結(jié)構”“變量集中”等原則,設法消除差異,達到證明的目的.

課堂小結(jié)

1.對于“二倍角”應該有廣義上的理解,如:

8α是4α的二倍;6α是3α的二倍;4α是2α的二倍;3α是32α的二倍;α2是α4的二倍;α3是α6的二倍;α2n=2•α2n+1(n∈N*).

2.二倍角余弦公式的運用

在二倍角公式中,二倍角的余弦公式最為靈活多樣,應用廣泛.二倍角余弦公式的常用形式:①1+cos 2α=2cos2α,②cos2α=1+cos 2α2,③1-cos 2α=2sin2α,④sin2α=1-cos 2α2.

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三角恒等變換PPT,第三部分內(nèi)容:當堂達標固雙基

1.思考辨析

(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角.(  )

(2)存在角α,使得sin 2α=2sin α成立.(  )

(3)對于任意的角α,cos 2α=2cos α都不成立.(  )

[提示] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式對任意角都是適用的,而二倍角的正切公式,要求α≠π2+kπ(k∈Z)且α≠±π4+kπ(k∈Z),故此說法錯誤.

(2)√.當α=kπ(k∈Z)時,sin 2α=2sin α.

(3)×.當cos α=1-32時,cos 2α=2cos α.

2.已知函數(shù)f(x)=2cos2x-sin2x+2,則(  )

A.f(x)的最小正周期為π,最大值為3

B.f(x)的最小正周期為π,最大值為4

C.f(x)的最小正周期為2π,最大值為3

D.f(x)的最小正周期為2π,最大值為4

3.設sin 2α=-sin α,α∈π2,π,則tan 2α的值是________.

4.已知π2<α<π,cos α=-45.

(1)求tan α的值;

(2)求sin 2α+cos 2α的值.

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