人教版九年級數(shù)學上冊《垂直于弦的直徑》圓PPT優(yōu)秀課件,共31頁。
素養(yǎng)目標
1. 進一步認識圓,了解圓是軸對稱圖形.
2. 理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論,并能應用它解決一些簡單的計算、證明和作圖問題.
3. 靈活運用垂徑定理解決有關圓的問題.
探究新知
圓的軸對稱性
圓是軸對稱圖形,任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.
已知:在⊙O中,CD是直徑, AB是弦, CD⊥AB,垂足為E.
證明:連結(jié)OA、OB.
則OA=OB.
又∵CD⊥AB,
∴直徑CD所在的直線是AB的垂直平分線.
∴對于圓上任意一點,在圓上都有關于直線CD的對稱點,即⊙O關于直線CD對稱.
圓是軸對稱圖形,任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.
垂徑定理及其推論
如圖,AB是⊙O的一條弦, 直徑CD⊥AB, 垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和劣弧? 為什么?
把圓沿著直徑CD折疊時,CD兩側(cè)的兩個半圓重合,點A與點B重合,AE與BE重合,AC和BC,AD與BD重合.
垂徑定理
垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.
推導格式:
∵ CD是直徑,CD⊥AB,
∴ AE=BE, AC =BC,AD =BD.
【思考】如果把垂徑定理(垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條。┙Y(jié)論與題設交換一條,命題是真命題嗎?
①過圓心 ;②垂直于弦; ③平分弦;④平分弦所對的優(yōu)弧 ; ⑤平分弦所對的劣弧.
上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論嗎?
歸納總結(jié)
垂徑定理的推論
平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.
垂徑定理及其推論的計算
例1 如圖,OE⊥AB于E,若⊙O的半徑為10cm,
OE=6cm,則AB= _____ cm.
如圖, ⊙ O的弦AB=8cm ,直徑CE⊥AB于D,DC=2cm,求半徑OC的長.
解:連接OA,∵ CE⊥AB于D,
設OC=x cm,則OD= x-2,根據(jù)勾股定理,得x2=42+(x-2)2,
解得 x=5,即半徑OC的長為5cm.
利用垂徑定理及推論證明相等
例2 已知:⊙O中弦AB∥CD,
求證:AC=BD.
證明:作直徑MN⊥AB.
∵AB∥CD,∴MN⊥CD.
則AM=BM,CM=DM(垂直于弦的直徑平分弦所對的弧)
AM-CM=BM-DM.
∴AC=BD.
歸納總結(jié)
解決有關弦的問題,經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距(垂線段),或作垂直于弦的直徑,連結(jié)半徑等輔助線,為應用垂徑定理創(chuàng)造條件.
課堂小結(jié)
垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧
一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦; ③平分弦(不是直徑); ④平分弦所對的優(yōu)弧;⑤平分弦所對的劣弧. “知二推三”
兩條輔助線:
連半徑,作弦心距
構(gòu)造Rt△利用勾股定理計算或建立方程.
... ... ...
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