《三角函數的概念》三角函數PPT課件(第2課時同角三角函數的基本關系)
第一部分內容:學 習 目 標
1.理解并掌握同角三角函數基本關系式的推導及應用.(重點)
2.會利用同角三角函數的基本關系式進行化簡、求值與恒等式證明.(難點)
核 心 素 養(yǎng)
1.通過同角三角函數的基本關系進行運算,培養(yǎng)數學運算素養(yǎng).
2.借助數學式子的證明,培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).
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三角函數的概念PPT,第二部分內容:自主預習探新知
新知初探
1.平方關系
(1)公式:sin2α+cos2α=_____.
(2)語言敘述:同一個角α的正弦、余弦的平方和等于_____.
2.商數關系
(1)公式:sin αcos α=_____(α≠kπ+π2,k∈Z).
(2)語言敘述:同一個角α的正弦、余弦的商等于__________.
思考:對任意的角α,sin22α+cos22α=1是否成立?
提示:成立.平方關系中強調的同一個角且是任意的,與角的表達形式無關.
初試身手
1.化簡1-sin23π5的結果是( )
A.cos3π5 B.sin3π5
C.-cos3π5 D.-sin3π5
2.如果α是第二象限的角,下列各式中成立的是( )
A.tan α=-sin αcos α
B.cos α=-1-sin2 α
C.sin α=-1-cos2 α
D.tan α=cos αsin α
3.若cos α=35,且α為第四象限角,則tan α=________.
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三角函數的概念PPT,第三部分內容:合作探究提素養(yǎng)
直接應用同角三角函數關系求值
【例1】(1)已知α∈π,3π2,tan α=2,則cos α=________.
(2)已知cos α=-817,求sin α,tan α的值.
[思路點撥] (1)根據tan α=2和sin2α+cos2α=1列方程組求cos α.
(2)先由已知條件判斷角α是第幾象限角,再分類討論求sin α,tan α.
規(guī)律方法
利用同角三角函數的基本關系解決給值求值問題的方法:
1已知角α的某一種三角函數值,求角α的其余三角函數值,要注意公式的合理選擇,一般是先選用平方關系,再用商數關系.
2若角α所在的象限已經確定,求另兩種三角函數值時,只有一組結果;若角α所在的象限不確定,應分類討論,一般有兩組結果.
提醒:應用平方關系求三角函數值時,要注意有關角終邊位置的判斷,確定所求值的符號.
跟蹤訓練
1.已知sin α+3cos α=0,求sin α,cos α的值.
[解] ∵sin α+3cos α=0,
∴sin α=-3cos α.
又sin2α+cos2α=1,
∴(-3cos α)2+cos2α=1,
即10cos2α=1,
∴cos α=±1010.
又由sin α=-3cos α,
可知sin α與cos α異號,
∴角α的終邊在第二或第四象限.
當角α的終邊在第二象限時,cos α=-1010,sin α=31010;
當角α的終邊在第四象限時,cos α=1010,sin α=-31010.
靈活應用同角三角函數關系式求值
【例2】(1)已知sin α+cos α=713,α∈(0,π),則tan α=________.
(2)已知sin α+cos αsin α-cos α=2,計算下列各式的值.
①3sin α-cos α2sin α+3cos α;
②sin2α-2sin αcos α+1.
[思路點撥](1)法一:求sin αcos α→求sin α-cos α→求sin α和cos α→求tan α
法二:求sin αcos α→弦化切構建關于tan α的方程→求tan α
(2)求tan α→換元或弦化切求值
規(guī)律方法
1.sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三個式子中,已知其中一個,可以求其他兩個,即“知一求二”,它們之間的關系是:(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.
2.已知tan α=m,求關于sin α,cos α的齊次式的值
解決這類問題需注意以下兩點:(1)一定是關于sin α,cos α的齊次式(或能化為齊次式)的三角函數式;(2)因為cos α≠0,所以可除以cos α,這樣可將被求式化為關于tan α的表示式,然后代入tan α=m的值,從而完成被求式的求值.
提醒:求sin α+cos α或sin α-cos α的值,要注意根據角的終邊位置,利用三角函數線判斷它們的符號.
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三角函數的概念PPT,第四部分內容:當堂達標固雙基
1.思考辨析
(1)對任意角α,sin α2cos α2=tan α2都成立.( )
(2)因為sin2 94π+cos2 π4=1,所以sin2α+cos2β=1成立,其中α,β為任意角.( )
(3)對任意角α,sin α=cos α•tan α都成立.( )
[提示] 由同角三角函數的基本關系知(2)錯,由正切函數的定義域知α不能取任意角,所以(1)錯,(3)錯.
2.已知tan α=-12,則2sin αcos αsin2α-cos2α的值是( )
A.43 B.3
C.-43 D.-3
3.已知α是第二象限角,tan α=-12,則cos α=________.
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