《任意角》三角函數(shù)PPT
第一部分內(nèi)容：課標(biāo)闡釋
1.掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念,結(jié)合具體實(shí)例理解“正角”“負(fù)角”及“零角”的定義.
2.理解“象限角”“終邊相同角”的定義,掌握所有與角α終邊相同的角(包括角α)的表示方法.
3.體會用運(yùn)動變化的觀點(diǎn),深刻理解推廣后的角的概念.
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任意角PPT，第二部分內(nèi)容：自主預(yù)習(xí)
一、任意角
1.(1)初中所學(xué)的角是如何定義的?初中學(xué)過哪些角?初中學(xué)過的角的范圍是什么?
提示:具有公共頂點(diǎn)的兩條射線組成的圖形;銳角、直角、鈍角、平角、周角;0°<α≤360°.
(2)在奧運(yùn)會比賽中,跳水是極具觀賞性的項(xiàng)目,其中解說員經(jīng)常播報(bào)出場運(yùn)動員完成的動作難度系數(shù)和一些動作名稱.比如說“107B”就表示向前翻騰3周半屈體,“107C”就是向前翻騰3周半抱膝(第三個(gè)數(shù)字表示翻騰的周數(shù),以“1”為半圓,“2”為一周,“3”為一周半,以此類推).若一位跳水運(yùn)動員做了一個(gè)“5253B”動作,你知道這位運(yùn)動員翻騰的周數(shù)嗎?怎樣度量這種形式的角呢?
提示:5253B中第3個(gè)數(shù)是5,說明該運(yùn)動員翻騰兩周半,對這樣的角的認(rèn)識必須將以前學(xué)過的角的概念進(jìn)行推廣.
2.填空
(1)角的概念:平面內(nèi)的一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.
(2)角的分類:按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為三類
溫馨提示:1.在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以簡記成“α”;
2.如果α是零角,那么記α=0°.
二、第幾象限角
1.如果將一個(gè)角放到平面直角坐標(biāo)系中,且使角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,回答以下問題:
(1)α=45°的角終邊落在第幾象限?
提示:第一象限.
(2)α=120°的角終邊落在第幾象限?
提示:第二象限.
(3)α=-90°的角終邊落在第幾象限?
提示:y軸的負(fù)半軸上.
(4)若α終邊落在第二象限,則角φ的范圍是多少?
提示:90°+k·360°<φ<180°+k·360°,k∈Z.
(5)若將α的終邊再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角β得到的角如何表示?
提示:α+β
2.填空
象限角的定義
(1)前提:
①角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合;
②角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.
(2)結(jié)論:角的終邊在第幾象限,就說這個(gè)角是第幾象限角;
角的終邊在坐標(biāo)軸上,就說這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.
三、終邊相同的角
1.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出30°,390°,-330°,750°角,觀察它們的終邊有什么關(guān)系,這些角之間相差多少度?
提示:終邊在相同的位置,它們之間相差360°的整數(shù)倍.
2.填空
一般地,所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合:S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.
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任意角PPT，第三部分內(nèi)容：探究學(xué)習(xí)
任意角的概念及其表示
例1(1)經(jīng)過2個(gè)小時(shí),鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是( )
A.60°,720° B.-60°,-720°
C.-30°,-360° D.-60°,720°
(2)下圖中的角α的度數(shù)是___________.
解析:(1)鐘表的時(shí)針和分針都是順時(shí)針旋轉(zhuǎn),因此轉(zhuǎn)過的角度都是負(fù)的,而2/12×360°=60°,2×360°=720°,故鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是-60°,-720°.
(2)要正確識圖,確定好旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的大小.因?yàn)榻?alpha;旋轉(zhuǎn)的大小是360°-30°=330°,旋轉(zhuǎn)方向是逆時(shí)針,所以α=330°.
答案:(1)B (2)330°
反思感悟 確定任意角的方法:
(1)定方向:明確該角是由順時(shí)針方向還是逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的,由逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為正角,順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為負(fù)角.
(2)定大小:根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度的絕對量確定角的大小.
變式訓(xùn)練1(1)把一條射線繞著端點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)240°所形成的角是( )
A.120° B.-120°
C.240° D.-240°
(2)圖中角α=__________,β=__________.
解析:(1)一條射線繞著端點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)240°所形成的角是-240°,故選D.
(2)由題圖可知α=-(180°-30°)=-150°,β=30°+180°=210°.
答案:(1)D (2)-150° 210°
坐標(biāo)系中角的概念及其表示
角度1 終邊相同的角的求解
例2寫出與75°角終邊相同的角的集合,并求在360°~1 080°范圍內(nèi)與75°角終邊相同的角.
分析:根據(jù)與角α終邊相同的角的集合為S={β|β=k·360°+α,k∈Z},寫出與75°角終邊相同的角的集合,再取適當(dāng)?shù)膋值,求出360°~1 080°范圍內(nèi)的角.
解:與75°角終邊相同的角的集合為
S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.
當(dāng)360°≤β<1 080°時(shí),即360°≤k·360°+75°<1 080°,
解得19/24≤k<219/24.
又k∈Z,所以k=1或k=2.
當(dāng)k=1時(shí),β=435°;
當(dāng)k=2時(shí),β=795°.
綜上所述,與75°角終邊相同且在360°~1 080°范圍內(nèi)的角為435°角和795°角.
反思感悟 求與已知角α終邊相同的角時(shí),要先將這樣的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用賦值法求解或解不等式,確定k的值,求出滿足條件的角.
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任意角PPT，第四部分內(nèi)容：思維辨析
對任意角的概念不清導(dǎo)致角的范圍寫錯(cuò)
典例 寫出終邊在如圖所示陰影部分內(nèi)的角的集合.
錯(cuò)解一終邊為OA的角為k·360°+30°(k∈Z),
終邊為OB的角為k·360°+150°(k∈Z),
所以終邊在陰影部分內(nèi)的角的集合為{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}.
錯(cuò)解二終邊為OA的角為k·360°+30°(k∈Z),終邊為OB的角為k·360°+150°(k∈Z),
所以終邊在陰影部分內(nèi)的角的集合為{α|k·360°+150°<α<k·360°+30°,k∈Z}.
以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何訂正?怎么防范?
提示:錯(cuò)解一考慮了角的大小,但表示的是終邊落在陰影部分以外的角;錯(cuò)解二沒有注意到角的大小,寫出的集合是空集.
正解:因?yàn)殛幱安糠趾瑇軸正半軸,所以終邊為OA的角為β=30°+k·360°,k∈Z,終邊為OB的角為γ=-210°+k·360°,k∈Z.所以終邊在陰影部分內(nèi)的角的集合為{α|-210°+k·360°≤α≤30°+k·360°,k∈Z}.
防范措施 1.用不等式表示區(qū)域角的范圍時(shí),要注意觀察角的集合形式是否能夠合并,能合并的一定要合并.
2.對于區(qū)域角的書寫,一定要看其區(qū)域是否跨越x軸的正方向.
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任意角PPT，第五部分內(nèi)容：隨堂演練
1.下列敘述正確的是( )
A.三角形的內(nèi)角必是第一或第二象限角
B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等
C.第四象限角一定是負(fù)角
D.鈍角比第三象限角小
解析:90°角是三角形的內(nèi)角,它不是第一或第二象限角,故A錯(cuò);280°角是第四象限角,它是正角,故C錯(cuò);-100°角是第三象限角,它比鈍角小,故D錯(cuò).
答案:B
2.把-1 485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是( )
A.315°-5×360° B.45°-4×360°
C.-315°-4×360° D.-45°-10×180°
解析:∵0°≤α<360°,∴排除C,D選項(xiàng),經(jīng)計(jì)算可知選項(xiàng)A正確.
答案:A
3.-495°角的終邊與下列哪個(gè)角的終邊相同( )
A.135° B.45° C.225° D.-225°
解析:因?yàn)?495°=-2×360°+225°,所以與-495°角終邊相同的是225°角.故選C.
答案:C
4.與-2 018°角終邊相同的最小正角是 .
解析:∵-2 018°=-6×360°+142°,∴所求值為142°.
答案:142°
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