《函數(shù)的基本性質》函數(shù)的概念與性質PPT(第4課時函數(shù)奇偶性的應用)
第一部分內容:學習目標
會利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式
能運用函數(shù)的單調性和奇偶性解決比較大小、求最值、解不等式等綜合問題
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函數(shù)的基本性質PPT,第二部分內容:講練互動
利用奇偶性求函數(shù)的解析式
若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=x2-2x-1,求函數(shù)f(x)的解析式.
【解】當x<0時,-x>0,
f(-x)=(-x)2-2(-x)-1=x2+2x-1,
因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù),
所以f(x)=-f(-x),
所以x<0時,f(x)=-x2-2x+1,
故f(x)=x2-2x-1(x>0),0(x=0),-x2-2x+1(x<0).
1.(變問法)在本例條件下,求f(-3)的值.
解:因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(-3)=-f(3)=-(32-2×3-1)=-2.
2.(變條件)將本例中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”,其他條件不變,求當x<0時,函數(shù)f(x)的解析式.
解:當x<0時,-x>0,
f(-x)=(-x)2-2(-x)-1=x2+2x-1,
因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù),
所以f(x)=f(-x),
所以f(x)=x2+2x-1,
即x<0時,f(x)=x2+2x-1.
規(guī)律方法
利用奇偶性求函數(shù)解析式的思路
(1)“求誰設誰”,即在哪個區(qū)間求解析式,x就設在哪個區(qū)間內.
(2)利用已知區(qū)間的解析式代入.
(3)利用f(x)的奇偶性寫出-f(x)或f(-x),從而解出f(x).
跟蹤訓練
1.設f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),且f(x)+g(x)=x2+2x,求函數(shù)f(x),g(x)的解析式.
解:因為f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),
所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
由f(x)+g(x)=2x+x2.①
用-x代替x得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2,
所以f(x)-g(x)=-2x+x2,②
(①+②)÷2,得f(x)=x2.
(①-②)÷2,得g(x)=2x.
2.已知函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù),且當x≥0時,f(x)=-x2+2x.
(1)求出函數(shù)f(x)在R上的解析式;
(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象;
(3)根據(jù)圖象,寫出函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間及值域.
函數(shù)的奇偶性與單調性的綜合問題
角度一 比較大小問題
設偶函數(shù)f(x)的定義域為R,當x∈[0,+∞)時,f(x)是增函數(shù),則f(-2),f(π),f(-3)的大小關系是( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)<f(-3)<f(-2)
D.f(π)<f(-2)<f(-3)
角度二 解不等式
已知定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)=xx2+1.
(1)試判斷f(x)的奇偶性及在(-1,1)上的單調性;
(2)解不等式f(t-1)+f(2t)<0.
規(guī)律方法
奇偶性與單調性綜合問題的兩種類型
(1)比較大小
①自變量在同一單調區(qū)間上,直接利用函數(shù)的單調性比較大;
②自變量不在同一單調區(qū)間上,需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉化到同一單調區(qū)間上,然后利用單調性比較大。
(2)解不等式
①利用已知條件,結合函數(shù)的奇偶性,把已知不等式轉化為f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式;
②根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性一致,偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相反,脫掉不等式中的“f”轉化為簡單不等式(組)求解.
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函數(shù)的基本性質PPT,第三部分內容:達標反饋
1.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上單調遞增的函數(shù)是( )
A.y=x3 B.y=|x|+1
C.y=-x2+1 D.y=-2x
解析:選B.對于函數(shù)y=|x|+1,
f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),
所以y=|x|+1是偶函數(shù),當x>0時,y=x+1,
所以在(0,+∞)上單調遞增;另外函數(shù)y=x3不是偶函數(shù);
y=-x2+1在(0,+∞)上單調遞減;y=-2x不是偶函數(shù).故選B.
2.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,5]上是減函數(shù),且最小值為3,那么f(x)在區(qū)間[-5,-1]上是( )
A.增函數(shù)且最小值為3
B.增函數(shù)且最大值為3
C.減函數(shù)且最小值為-3
D.減函數(shù)且最大值為-3
3.設奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),且f(1)=0,則不等式f(x)-f(-x)x<0的解集為( )
A.(-1,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-1,0)∪(0,1)
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